Question

已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=BC=2，AB=4，∠B=60°．
點(diǎn)M從A開始，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→D→A方向，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若M、N同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過點(diǎn)N作NQ⊥CD交AC于點(diǎn)Q．
（1）①當(dāng)點(diǎn)N在CD上移動(dòng)時(shí)，線段CQ=

 

，AQ=

 

（請用含t的代數(shù)式表示）．
②當(dāng)點(diǎn)N在DA上移動(dòng)時(shí)，線段CQ=

 

，AQ=

 

（請用含t的代數(shù)式表示）．
（2）在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在t值，使△AMQ為等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）求出t的臨界點(diǎn)t=2，分別求出當(dāng)0＜t≤2時(shí)和2≤t＜4時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式即可，
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，若△AMQ為等腰三角形，則MA=MQ或者AQ=AM，分別求出t的值，然后判斷t是否符合題意．

解答：解：（1）如圖1，①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
∵CD∥AB，AD=DC=BC=2，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∵∠B=∠C=60°，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
∴∠DCA=∠CAB=30°，
∵Rt△CNQ中，CN=t，∠DCA=30°，
∴NQ=

3

3

t，CQ=

2 3

3

t．
∵Rt△ABC中，BC=2，∠CAB=30°，
∴AC=2

3

，
∴AQ=2

3

-

2 3

3

t  （0＜t≤2）．
②當(dāng)2≤t＜4時(shí)，
如圖2：延長QN交CD的延長線于點(diǎn)F，
∵QN⊥CD，
∴∠QFC=90°．
∴DN=t-2，
∴FD=DN•cosFDN=DN•cos60°=

1

2

（t-2）
∴FC=CD+FD=2+

1

2

（t-2）=

1

2

t+1，
∴CQ=（

1

2

t+1）•

2 3

3

=

3

3

（t+2），
∴AQ=AC-CQ=2

3

-

3

6

（t+2）；
故答案為：

2 3

3

t，2

3

-

2 3

3

t，

3

3

（t+2），2

3

-

3

6

（t+2）；

（2）0＜t≤2時(shí)，
如圖3，AM=MQ=t，作CE⊥AB于E，延長NQ交AB于F，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形NFEC為矩形，
∴NC=EF=t．
在Rt△AEC中，由勾股定理，得
CE=

3

，AE=3．
∴MF=3-2t，QF=

3

-

3

3

t
由勾股定理可得：t²=（3-2t）²+（

3

-

3

3

t）²，解得t₁=

6

5

，t₂=3，因?yàn)閠₂＞2，應(yīng)舍去．所以t=

6

5

若AQ=AM，則t=2

3

-

2 3

3

t                                 
解得：t=12-6

3

．
如圖4，若QA=QM，
∵QP⊥AM，
∴AP=PM=

1

2

t．
∴QP=

3

-

3

3

t，AQ=2

3

-

2 3

3

t，
∵AQ²=AP²+PQ²，
∴（2

3

-

2 3

3

t）²=

1

4

t²+（

3

-

3

3

t）²，
解得：t₁=6＞2（舍去），t₂=2，
如圖5，2＜t≤4．
若AQ=QM，因?yàn)镼P⊥AM，所以AP=PM=

1

2

t．
在Rt△AQP中，QP=

3

-

3

6

（t+2），AP=

1

2

t，∠QAP=30°，

PQ

AP

=

3

3

，解得t=2＜2（舍去）
若AQ=AM，2

3

-

3

3

（t+2）=t，
∴t=2

3

-2，
∵2

3

-2＜2，
∴此情況不存在若MA=MQ，則∠AQM=30°，而∠AQM＞60°不存在．                        
綜上所述：t=

6

5

，12-6

3

，2時(shí)，△AMQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)的知識(shí)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，矩形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．此題綜合性很強(qiáng)，把圖形的變換放在梯形的背景中，利用等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合已知條件探究圖形的變換，根據(jù)變換的圖形的性質(zhì)求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．