已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(1,0),B(3,0),C(0,﹣3)
(1)求此二次函數(shù)的解析式以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如圖①,過(guò)此二次函數(shù)拋物線(xiàn)圖象上一動(dòng)點(diǎn)P(m,n)(0<m<3)作y軸平行線(xiàn),交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E,是否存在一點(diǎn)P,使線(xiàn)段PE的長(zhǎng)最大?若存在,求出PE長(zhǎng)的最大值;若不存在,說(shuō)明理由.
(3)如圖②,過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F,連接DA、DB、四邊形OAFC沿射線(xiàn)CB方向運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng),求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得拋物線(xiàn)的解析式,然后化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)先求得直線(xiàn)BC的解析式,設(shè)P(x,﹣x2+4x﹣3),則F(x,x﹣3),根據(jù)PF等于P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去F點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求得PF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,從而求得P的坐標(biāo)和PF的最大值;
(3)線(xiàn)利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AD的解析式為y=x﹣1,直線(xiàn)BC的解析式為:y=x﹣3,從而得到AD∥BC,且與x軸正半軸夾角均為45°,由平行于與y軸的直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求得F(1,﹣2),從而可求得AF=2,由當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng),可知0≤t≤,由AF∥A′F′,AD∥C′B,可知四邊形AFF′A′為平行四邊形,根據(jù)由平行四邊形的面積公式可知當(dāng)t=時(shí),重合部分的面積最大,設(shè)A′F′與x軸交于點(diǎn)K,依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AK=1.依據(jù)平行四邊形的面積公式可求得重合部分的最大面積為2.
【解答】解:(1)設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3),將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:3a=﹣3,
解得:a=﹣1.
∵將a=﹣1代入得:y=﹣(x﹣1)(x﹣3)=﹣x2+4x﹣3.
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x2+4x﹣3.
由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程可知:x=﹣=2,
將x=2代入拋物線(xiàn)的解析式得:y=1.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1).
(2)存在.
理由:設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為y=kx+b.
將B(3,0),C(0,﹣3)代入上式,得:,
解得:k=1,b=﹣3.
則直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣3.
∵PE∥y軸,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)均為m.
∵將x=m代入直線(xiàn)BC的解析式的y=m﹣3,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m﹣3).
將x=m代入拋物線(xiàn)的解析式得y=﹣m2+4m﹣3,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,﹣m2+4m﹣3).
∴PE═﹣m2+4m﹣3﹣(m﹣3)=﹣m2+3m=﹣(m2﹣3m+﹣)=﹣(m﹣)2+.
∴當(dāng)m=時(shí),PE的長(zhǎng)有最大值,最大值為.
(3)如圖所示:
∵A(1,0)、B(3,0)、D(2,1)、C(0,﹣3),
∴可求得直線(xiàn)AD的解析式為:y=x﹣1;直線(xiàn)BC的解析式為:y=x﹣3.
∴AD∥BC,且與x軸正半軸夾角均為45°.
∵AF∥y軸,
∴F(1,﹣2),
∴AF=2.
∵當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng),
∴0≤t≤.
∵AF∥A′F′,AD∥C′B,
∴四邊形AFF′A′為平行四邊形.
∵當(dāng)AA′有最大值時(shí),重合部分的面積最大.
∴當(dāng)t=時(shí),重合部分的面積最大.
設(shè)A′F′與x軸交于點(diǎn)K,則AK=AA′==1.
∴S=S▱AFF′A′=AF•AK=2×1=2.
四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值為2.
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、最值、平行四邊形、等腰直角三角形、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn).列出線(xiàn)段PE的表達(dá)式是解決問(wèn)題(2)的關(guān)鍵,證得四邊形AFF′A′為平行四邊形是解答問(wèn)題(3)關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,AB=13,CD=6,則AC+BC等于( ).
(A)5 (B)
(C) (D)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
一布袋中有紅、黃、白三種顏色的球各一個(gè),它們除顏色外,其它都一樣,小亮從布袋摸出一個(gè)球后放回去搖勻,再摸出一個(gè)球,請(qǐng)你用列舉法(列表法或樹(shù)形圖)分析并求出小亮兩次都能摸到白球的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
兩年前生產(chǎn)某種藥品的成本是5000元,現(xiàn)在生產(chǎn)這種藥品的成本是3000元,設(shè)平均每年降價(jià)的百分率為x,根據(jù)題意列出的方程是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,已知OA是圓O的半徑,點(diǎn)B在圓O上,∠OAB的平分線(xiàn)AC交圓O于點(diǎn)C,CD⊥AB于點(diǎn)D,求證:CD是圓O的切線(xiàn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,將四根長(zhǎng)度相等的細(xì)木條首尾相連,用釘子釘成四邊形ABCD,轉(zhuǎn)動(dòng)這個(gè)四邊形,使它形狀改變,當(dāng)AB=2,∠B=60°時(shí),AC等于( 。
A. B.2 C. D.2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
某學(xué)校共有學(xué)生3000人,為了解學(xué)生的課外閱讀情況,隨機(jī)調(diào)查了200名同學(xué),其中120人有閱讀課外書(shū)的習(xí)慣,則該學(xué)校大約 人有閱讀課外書(shū)的習(xí)慣.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
在平面直角坐標(biāo)系中,若將拋物線(xiàn)y=2x2分別向上、向右平移2個(gè)單位,則新拋物線(xiàn)的解析式是( 。
A.y=2(x﹣2)2+2 B.y=2(x+2)2﹣2 C.y=2(x﹣2)2﹣2 D.y=2(x+2)2+2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,AB是⊙O的直徑,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求證:AT是⊙O的切線(xiàn);
(2)連接OT交⊙O于點(diǎn)C,連接AC,求tan∠TAC.
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