Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

（1）求此二次函數(shù)的解析式以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖①，過(guò)此二次函數(shù)拋物線(xiàn)圖象上一動(dòng)點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜3）作y軸平行線(xiàn)，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，是否存在一點(diǎn)P，使線(xiàn)段PE的長(zhǎng)最大？若存在，求出PE長(zhǎng)的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F，連接DA、DB、四邊形OAFC沿射線(xiàn)CB方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線(xiàn)的解析式，然后化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）先求得直線(xiàn)BC的解析式，設(shè)P（x，﹣x²+4x﹣3），則F（x，x﹣3），根據(jù)PF等于P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去F點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求得PF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，從而求得P的坐標(biāo)和PF的最大值；

（3）線(xiàn)利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AD的解析式為y=x﹣1，直線(xiàn)BC的解析式為：y=x﹣3，從而得到AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°，由平行于與y軸的直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可求得F（1，﹣2），從而可求得AF=2，由當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)，可知0≤t≤，由AF∥A′F′，AD∥C′B，可知四邊形AFF′A′為平行四邊形，根據(jù)由平行四邊形的面積公式可知當(dāng)t=時(shí)，重合部分的面積最大，設(shè)A′F′與x軸交于點(diǎn)K，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AK=1．依據(jù)平行四邊形的面積公式可求得重合部分的最大面積為2．

【解答】解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣3），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：3a=﹣3，

解得：a=﹣1．

∵將a=﹣1代入得：y=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣x²+4x﹣3．

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x²+4x﹣3．

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸方程可知：x=﹣=2，

將x=2代入拋物線(xiàn)的解析式得：y=1．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1）．

（2）存在．

理由：設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為y=kx+b．

將B（3，0），C（0，﹣3）代入上式，得：，

解得：k=1，b=﹣3．

則直線(xiàn)BC的解析式為y=x﹣3．

∵PE∥y軸，

∴點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)均為m．

∵將x=m代入直線(xiàn)BC的解析式的y=m﹣3，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m﹣3）．

將x=m代入拋物線(xiàn)的解析式得y=﹣m²+4m﹣3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m²+4m﹣3）．

∴PE═﹣m²+4m﹣3﹣（m﹣3）=﹣m²+3m=﹣（m²﹣3m+﹣）=﹣（m﹣）2+．

∴當(dāng)m=時(shí)，PE的長(zhǎng)有最大值，最大值為．

（3）如圖所示：

∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直線(xiàn)AD的解析式為：y=x﹣1；直線(xiàn)BC的解析式為：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．

∵AF∥y軸，

∴F（1，﹣2），

∴AF=2．

∵當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)，

∴0≤t≤．

∵AF∥A′F′，AD∥C′B，

∴四邊形AFF′A′為平行四邊形．

∵當(dāng)AA′有最大值時(shí)，重合部分的面積最大．

∴當(dāng)t=時(shí)，重合部分的面積最大．

設(shè)A′F′與x軸交于點(diǎn)K，則AK=AA′==1．

∴S=S_{▱AFF′A′}=AF•AK=2×1=2．

四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積S的最大值為2．

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、最值、平行四邊形、等腰直角三角形、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．列出線(xiàn)段PE的表達(dá)式是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，證得四邊形AFF′A′為平行四邊形是解答問(wèn)題（3）關(guān)鍵．