Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．
（1）請(qǐng)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明；
（2）連接AD，若⊙O的半徑為，AD=3，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）解：DE與⊙O相切，
證明：連接AD、OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°，
∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴BD=DC，
又∵OB=OA，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AC．
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：若⊙O的半徑為，則AB=AC=5，
在Rt△ADC中，AD=3，AC=5，
∴DC=，
又∵AC•DE=AD•DC，
∴DE=．
分析：（1）要判斷DE是⊙O的切線，只要證明DE垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，即DE⊥OD即可；
（2）有Rt△ADC中根據(jù)勾股定理求出DC，根據(jù)△ACD∽△DCE，對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出DE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．