Question

如圖，點E和點F分別是正方形ABCD中BC邊和CD邊上的點，且∠EAF=45°，則

EF

AB

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：設(shè)正方形的邊長為1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠BAD=90°，則可把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AF=AP，DF=PB，∠FAP=90°，∠ABP=∠D=90°，則點P、B、C共線，再利用“SAS”證明△AEP≌△AEF，得到EF=EP，易得△CEF的周長=2，設(shè)CE=x，EF=y，CF=2-x-y，
利用勾股定理得x²+（2-x-y）²=y²，整理得x²+（y-2）x+2-2y=0，根據(jù)判別式的意義有△=（y+2）²-8≥0，解得y≥2

2

-2，即EF的最小值為2

2

-2，
所以可得

EF

AB

的最小值為2

2

-2．

解答：解：設(shè)正方形的邊長為1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP，如圖，
∴AF=AP，DF=PB，∠FAP=90°，∠ABP=∠D=90°，
∴點P、B、C共線，
∵∠FAE=45°，
∴∠PAE=45°，
在△AEP和△AEF中，

AE=AE ∠PAE=∠FAE AP=AF

，
∴△AEP≌△AEF（SAS），
∴EF=EP，
而EP=EB+BP=EB+DF，
∴EF=EB+FD，
∴△CEF的周長=EF+CE+CF=BE+EC+CF+FD=2BC=2，
設(shè)CE=x，EF=y，CF=2-x-y，
∵CE²+CF²=EF²，
∴x²+（2-x-y）²=y²，
整理得x²+（y-2）x+2-2y=0，
△=（y-2）²-4（2-2y）
=（y+2）²-8≥0，
而y＞0，
∴y≥2

2

-2，
∴EF的最小值為2

2

-2，
∴

EF

AB

的最小值為2

2

-2．
故答案為2

2

-2．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．