Question

8．如圖，拋物線y=x²+bx+8與y軸相交于點A，與過點A平行于x軸的直線相交于點B（點B在第二象限），拋物線的頂點C在直線OB上，且點C為OB的中點，對稱軸與x軸相交于點D，平移拋物線，使其經過點A、D，則平移后的拋物線的解析式為y=x²+6x+8．

Answer 1

分析 先確定A（0，8），則表示出B點坐標（-b，8）（b＞0），利用點C為OB的中點可得到C（-$\frac{1}{2}$b，4），根據拋物線的頂點坐標公式得到$\frac{4×8-^{2}}{4}$=4，解得b=4或b=-4（舍去），所以拋物線解析式為y=x²+4x+8=（x+2）²+4，則D（-2，0），然后設平移后的拋物線解析式為y=x²+mx+n，再把A點和D點坐標代入得到m、n的方程組，接著解方程組求出m、n即可．

解答 解：當x=0時，y=x²+bx+8=8，則A（0，8），
∵AB∥x軸，
∴B點的縱坐標為8，
當y=8時，x²+bx+8=8，解得x₁=0，x₂=-b，
∴B（-b，8）（b＞0），
∵點C為OB的中點，
∴C（-$\frac{1}{2}$b，4），
∵C點為拋物線的頂點，
∴$\frac{4×8-^{2}}{4}$=4，解得b=4或b=-4（舍去），
∴拋物線解析式為y=x²+4x+8=（x+2）²+4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-2，
∴D（-2，0），
設平移后的拋物線解析式為y=x²+mx+n，
把A（0，8），D（-2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=8}\\{4-2m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=8}\end{array}\right.$，
所以平移后的拋物線解析式為y=x²+6x+8．
故答案為y=x²+6x+8．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了拋物線的幾何變換．