Question

8．如圖，拋物線y=x²+bx+8與y軸相交于點(diǎn)A，與過(guò)點(diǎn)A平行于x軸的直線相交于點(diǎn)B（點(diǎn)B在第二象限），拋物線的頂點(diǎn)C在直線OB上，且點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，平移拋物線，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，則平移后的拋物線的解析式為y=x²+6x+8．

Answer 1

分析 先確定A（0，8），則表示出B點(diǎn)坐標(biāo)（-b，8）（b＞0），利用點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)可得到C（-$\frac{1}{2}$b，4），根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到$\frac{4×8-^{2}}{4}$=4，解得b=4或b=-4（舍去），所以拋物線解析式為y=x²+4x+8=（x+2）²+4，則D（-2，0），然后設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²+mx+n，再把A點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)代入得到m、n的方程組，接著解方程組求出m、n即可．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，y=x²+bx+8=8，則A（0，8），
∵AB∥x軸，
∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，
當(dāng)y=8時(shí)，x²+bx+8=8，解得x₁=0，x₂=-b，
∴B（-b，8）（b＞0），
∵點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，
∴C（-$\frac{1}{2}$b，4），
∵C點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，
∴$\frac{4×8-^{2}}{4}$=4，解得b=4或b=-4（舍去），
∴拋物線解析式為y=x²+4x+8=（x+2）²+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-2，
∴D（-2，0），
設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²+mx+n，
把A（0，8），D（-2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=8}\\{4-2m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=8}\end{array}\right.$，
所以平移后的拋物線解析式為y=x²+6x+8．
故答案為y=x²+6x+8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了拋物線的幾何變換．