Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE⊥AD且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．
（1）求證：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，AB=4，求DC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠DCE=∠E，進(jìn)而得出答案；
（2）設(shè)BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
又∵ED⊥AD，
∴∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠E=90°，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠EAD，
故∠DCE=∠E，
∴DC=DE；

（2）解：設(shè)BD=x，則AD=AB+BD=4+x，OD=OB+BD=2+x，
在Rt△EAD中，
∵tan∠CAB=$\frac{1}{2}$，
∴ED=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$（4+x），
由（1）知，DC=$\frac{1}{2}$（4+x），在Rt△OCD中，
OC²+CD²=DO²，
則2²+[$\frac{1}{2}$（4+x）]²=（2+x）²，
解得x=$\frac{4}{3}$，
∴CD=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的性質(zhì)以及以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)得出∠OCD=90°是解題關(guān)鍵．