Question

14．已知AB是圓O的直徑，CA與圓O相切于A，且CA=AB=2，過C作圓O的切線CD，切點為D，連接BD并延長交過C與AB平行的直線于E，給出下列結論：①CE=1；②DE：BD=3：2；③S_△CDE=$\frac{3}{5}$；④sin∠ECD=$\frac{2}{5}$．其中正確的結論是（只填序號）①②③．

Answer 1

分析 根據(jù)切線的性質(zhì)可得OA⊥AC，OD⊥CD，進一步得出∠AOC=∠PBD，證得四邊形CEBO是平行四邊形，得到CE=OB=$\frac{1}{2}$AB=1；根據(jù)勾股定理求得BE，然后根據(jù)射影定理求得BD，即可求得DE，從而求得DE：BD=3：2；由②可知：h₁：h₂=3：5，求得h₁的值，根據(jù)面積公式求得S_△CDE=$\frac{3}{5}$；解直角三角形即可求得sin∠ECD=$\frac{{h}_{1}}{CD}$=$\frac{3}{5}$；繼而得到結論①②③成立．

解答 解：①連接OD，OC，
∵CA、CD是圓O的切線，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
∵OA=OD=1，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠AOC=∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∵∠OBD=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠AOC=∠PBD，
∴CO∥BE，
∵CE∥AB，
∴四邊形CEBO是平行四邊形，
∴CE=OB=$\frac{1}{2}$AB=1；
②連接OE，過O點作OF⊥BD，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD，
∵∠EOB=90°，OE=AC=2，
∴BE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OB²=BF•BE，
即1²=$\frac{1}{2}$BD×$\sqrt{5}$，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=BE-BD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴DE：BD=3：2；
③設D到CE的距離為h₁，B到CE的距離為h₂，則S_△CDE=$\frac{CE•{h}_{1}}{2}$，
由②可知：h₁：h₂=3：5，
∴h₁=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴S_△CDE=$\frac{CE•{h}_{1}}{2}$=1×$\frac{6}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{5}$；
④sin∠ECD=$\frac{{h}_{1}}{CD}$=$\frac{\frac{6}{5}}{2}$=$\frac{3}{5}$；
所以正確的結論是①②③，
故答案為①②③．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，角平分線的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)三角形的面積以及解直角三角形等，在本題中借用切線的性質(zhì)，求得相應角的關系是解題的關鍵．