Question

勾股定理是數(shù)學史上的兩個寶藏之一，小亮在學習完本章知識后，他和星源數(shù)學社的其他成員進行了有關知識的探索．請你根據(jù)他們的思路完成下列各項內(nèi)容：

問題解決：如圖（1）△ABC中，∠C=90°，分別以其三邊向外作正方形，若S₁=25，S₂=7，則AC=

 

．
變式探究：
（1）如圖（2），若以△ABC的三邊向外作等腰直角三角形，∠D=∠E=∠F=90°，AD=DC，CE=BE，AF=BF，則S₁、S₂、S₃之間的關系為

 

；
（2）如圖（3），若分別以三邊為直徑向外作半圓，則S₁、S₂、S₃之間的關系為

 

；
 （3）如圖（4），小亮將S₁沿AB向上翻折，發(fā)現(xiàn)AB為直徑的半圓剛好過點C，此時陰影部分的面積之和等于直角三角形ABC的面積，你認為正確嗎？并說明理由；
拓展應用：如圖（5），△ABC中，∠ACB=90°，分別以它的三邊向外作平行四邊形，QC∥GS∥TH交AB于P交GH于N，且QC=PN，若平行四邊形ABHG和平行四邊形SQCA的面積分別為8和6，則平行四邊形QTBC的面積為

 

．

Answer 1

考點：勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：問題解決：利用勾股定理結(jié)合正方形面積求法得出AC的長；
（1）在勾股定理的基礎上結(jié)合具體圖形的面積公式，運用等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）在勾股定理的基礎上結(jié)合具體圖形的面積公式，運用等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）分別用AB、BC和AC表示出 S₁、S₂、S₃，然后根據(jù)AB²=AC²+BC²即可得出S₁、S₂、S₃的關系；
拓展應用：利用平行四邊形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)進而得出各圖形之間面積關系．

解答：解：問題解決：∵AB²=AC²+BC²，
S₁=25，S₂=7，
∴AC²=25-7=18，
∴AC=3

2

；
故答案為：3

2

；

（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得：S₃=

1

4

AC²，S₂=

1

4

BC²，S₁=

1

4

AB²，
則S₃+S₂=

1

4

（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₃+S₂=S₁．
故答案為：S₃+S₂=S₁；

（2）由圓的面積計算公式知：S₃=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₁=

1

8

πAB²，
則S₃+S₂=

1

8

π（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₃+S₂=S₁．
故答案為：S₃+S₂=S₁；

（3）正確；
理由：∵陰影部分面積等于：

1

2

π（

AC

2

）²+

1

2

π（

BC

2

）²+

1

2

×AC×BC-

1

2

π（

AB

2

）²，
又∵AC²+BC²=AB²，
∴陰影部分的面積之和等于直角三角形ABC的面積；

拓展應用：∵分別以它的三邊向外作平行四邊形，QC∥GS∥TH交AB于P交GH于N，且QC=PN，
∴QC=BT=PN，四邊形APNG和四邊形PBHN都是平行四邊形，且S到CQ的距離等于A到PN的距離，
C到TB的距離等于P到BH的距離，
∴S_{四邊形ACQS}=S_{四邊形AGNP}，S_{四邊形QCBT}=S_{四邊形PNHB}，
∴S_{四邊形SACQ}+S_{四邊形QCBT}=S_{四邊形AGHB}，
∵平行四邊形ABHG和平行四邊形SQCA的面積分別為8和6，
∴平行四邊形QTBC的面積為：8-6=2．
故答案為：2．

點評：此題主要考查了勾股定理以及圖形面積求法和平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練利用勾股定理以及平行四邊形面積求法得出是解題關鍵．