Question

11．已知：△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點O是AB的中點，點D、E分別在直線AC，BC上，且∠DOE=90°，連接DE．
（1）如圖1，求∠ODE的度數(shù)；
（2）如圖2，取DE的中點F，連按BF，若∠COD=30°，AB=4，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠A=∠B=45°根據(jù)等腰三角形的性質得到CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，CO=AO=BO，求得∠A=∠BCO推出∠AOD=∠COE，得到△ADO≌△OCE，由全等三角形的性質得到DO=EO，根據(jù)等腰直角三角形的性質即可得到結論；
（2）連接OF，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到DO=OE，∠DOF=45°，OF⊥DE，由∠DOC=30°，得到∠COF=15°，求得∠FOB=75°根據(jù)直角三角形的性質得到DE=2DC推出△OED≌△DCO，根據(jù)全等三角形的性質得到BE=DC，等量代換得到DE=2BE，求得FE=BE，推出∠OFB=∠FOB，根據(jù)等腰三角形的性質得到結論．

解答 解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵點O是AB的中點，
∴CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，CO=AO=BO，
∴∠A=∠BCO，∵∠DOE=90°，
∴∠DOC+∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COE，
在△ADO與△OCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠BCO=45°}\\{OC=AO}\\{∠A=∠BCO}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△OCE，
∴DO=EO，
∵∠DOE=90°，
∴∠ODE=∠DEO=45°；

（2）連接OF，
∵∠DOE=90°，DO=OE，
∵F是DE的中點，
∴∠DOF=45°，OF⊥DE，
∵∠DOC=30°，
∴∠COF=15°，
∴∠FOB=75°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∵∠DOC=30°，∠ODE=∠ACO=45°，
∴∠CDE=60°，
∴∠DEC=30°，
∴DE=2DC，
在△OED與△DCO中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{∠COD=∠BOE}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△OED≌△DCO，
∴BE=DC，
∴DE=2BE，
∴FE=BE，
∴∠EBF=15°，
∴∠FBO=30°，
∵∠FOB=75°，
∴∠OFB=75°，
∴∠OFB=∠FOB，
∴OB=BF=2．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，熟練掌握等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．