Question

6．如圖，四邊形ABDE和ACFG都是正方形，過A作直線l，交BC，GE于M、N．
（1）若AM平分BC，求證：AN⊥GE；
（2）若AN⊥GE，求證：AM平分BC．

Answer 1

分析 （1）作KG∥AC交AM的延長線于K，連接CK，先證明△ACM≌△KBM，再證明∠EAG≌△BAK得∠AGE=∠AKB=∠CAK，根據(jù)∠GAN+∠CAK=90°即可解決問題．
（2）作KG∥AC交AM的延長線于K，連接CK，先證明△EAG≌△BAK，證明四邊形ACKB是平行四邊形即可．

解答 （1）證明：作KG∥AC交AM的延長線于K，連接CK．
∵AC∥BK，
∴∠ACM=∠MBG，
在△ACM和△KBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠MBK}\\{∠AMC=∠BMK}\\{CM=BM}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△KBM，
∴AC=BK，
∴四邊形ACKB是平行四邊形，
∴∠CAB+∠ABK=180°，AC=BK，
∵∠EAG+∠CAB=180°，
∴∠EAG=∠ABK，
∵四邊形ACFG、ABDE是正方形，
∴AC=AG，AB=AE，∠CAG=90°，
在△AEG和△BAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=BK}\\{∠EAG=∠ABK}\\{AE=AB}\end{array}\right.$
∴∠EAG≌△BAK，
∴∠AGE=∠AKB，
∵∠AKB=∠CAK，
∠CAK+∠GAN=90°，
∴∠AGN+∠GAN=90°，
∴∠ANG=90°即AN⊥EG．
（2）作KG∥AC交AM的延長線于K，連接CK．
∵AN⊥EG，
∴∠ANG=90°，∠AGE+∠GAN=90°，
∵∠GAN+∠CAK=90°，
∴∠AGN=∠CAK，
∵∠CAK=∠AKB，
∴∠AGE=∠AKB，
在△EAG和△BAK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠AKB}\\{∠EAG=∠ABK}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△BAK，
∴AG=BK=AC，
∴四邊形ACKB是平行四邊形，
∴CM=BM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形以及特殊四邊形，屬于中考常考題型．