Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是(0，4)，點B在第一象限，點P是x軸上的一個動點，連結(jié)AP，并把△AOP繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊A0與AB重合，得到△ABD．

 (1)求點B的坐標；

(2)當點P運動到點(，0)時，求此時點D的坐標；

(3)在點P運動的過程中是否存在某個位置，使△OPD的面積等于，若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）(2，2)（2）(，)(3) P₁ (，0)，P₂(一，0，P₃(-，0)，P₄(，0)

【解析】解：(1)點B的坐標是(2，2)                                    

 (2)如圖D3—7，過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH．在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°．

∴BG=BD·cos60°=×=．DG=BD·sin60°=×=．

                                                    

∴OH=EG=, DH=．∴點D的坐標為(，)．

(3)假設存在點P，在它的運動過程中，△OPD的面積等于．

設點P的坐標為(t，0)，下面分三種情況討論：

①t>0時，如圖D3—8，BD=OP=t，DG=t，

∴DH=2+t．∵△OPD的面積等于，∴t(2+t)=，

解得t₁=,t₂= (舍去)．

∴點P₁的坐標為(，0)．                   

②當-<t≦0時，如圖3-9，BD=OP=-t,BG=-t

∴DH=GF=2-(-t)=2+t

∵△OPD的面積等于．∴-t(2+t)= ，

解得t₁=-，t₂=-．   

∴點P₂的坐標為(一，0)，點P₃的坐標為(-，0)    

③當t≤-時，如圖D3-10,BD=0P=-t，DG=-t，

∴DH=-t-2．∵OPD的面積等于，∴t(2+t)=

解得t₁= (舍去)，t₂=．

∴點P₄的坐標為(，0)．                           

綜上所述，點P的坐標分別為P₁ (，0)，P₂(一，0，P₃(-，0)，P₄(，0)

 (1)過B作x軸的垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出B點的坐標

(2) 過點D作DH⊥x軸于點H，延長EB交DH于點G，則BG⊥DH，利用三角函數(shù)求出DG的長，通過OH=EG和DH的長，確定點D的坐標

(3) 假設存在點P，在它的運動過程中，△OPD的面積等于．分三種情況進行討論，分別求得點P的坐標