7.如圖,將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上,一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(-3,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)在拋物線上一點(diǎn)M滿足∠CAM=∠BAO,求出M的坐標(biāo);
(3)拋物線上一點(diǎn)P,作直線OP交直線AC于點(diǎn)D,以O(shè)C、CD為邊作平行四邊形OCDE,平行四邊形OCDE與△AOB重合部分的面積為△AOB面積的$\frac{2}{9}$,求出P的坐標(biāo).

分析 (1)已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),所以設(shè)拋物線方程為兩點(diǎn)式:y=a(x+3)(x-6),然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入該函數(shù)解析式即可求得系數(shù)a的值;
(2)分類(lèi)討論:①如圖1,當(dāng)M第一象限內(nèi)時(shí),作MN⊥AC于N,過(guò)M作MH∥y軸,交AC于G,交x軸于H.
②如圖2,當(dāng)M在第四象限上時(shí),作MN⊥AC于N,過(guò)M作MH∥y軸,交AC于G,交x軸于H.
通過(guò)銳角三角函數(shù)的定義和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行解答即可;
(3)設(shè)D(t,-t+6),M(-$\frac{t}{2}$,-t+6)結(jié)合平行線的性質(zhì)推知直線EO為y=-x,聯(lián)立方程組求得N(2,-2),
故S重合=S△ABO-△BNO-S△AMG,據(jù)此列出關(guān)于t的一元二次方程,利用方程可以求得t=±4,易得D(4,2),利用直線OD和二次函數(shù)交點(diǎn)的求法可以解得點(diǎn)P的坐標(biāo).

解答 解:(1)∵B(-3,0),C(6,0),設(shè)拋物線為y=a(x+3)(x-6),過(guò)A(0,6)
∴6=a(0+3)(0-6),
解得a=-$\frac{1}{3}$,
∴y=-$\frac{1}{3}$(x+3)(x-6),即y=-$\frac{1}{3}$x2+x+6;

(2)①如圖1,當(dāng)M第一象限內(nèi)時(shí),作MN⊥AC于N,過(guò)M作MH∥y軸,交AC于G,交x軸于H
∵tan∠MAN=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$,
∴設(shè)MN=k,AN=2k
∴NG=k,MG=$\sqrt{2}$k,
∴GC=6$\sqrt{2}$-3k,GH=HC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GC=6-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k,
∴OH=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k,MH=6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k,
∴點(diǎn)M($\frac{3\sqrt{2}}{2}$k,6-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k),將其代入y=-$\frac{1}{3}$x2+x+6,
∴-$\frac{3}{2}$k2+2$\sqrt{2}$k=0,
∴k=0(舍去),k=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$,
∴M(4,$\frac{14}{3}$),
②當(dāng)M在第四象限上時(shí),作MN⊥AC于N,過(guò)M作MF∥y軸,交AC于G,交x軸于H(圖2所示)
∵tan∠MAN=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$,
∴設(shè)MN=k,AN=2k,
∵NG=k,∴AG=k
∴OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$k,GM=$\sqrt{2}$k,HG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$k-6,HM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k-6,
∴M($\frac{\sqrt{2}}{2}$k,-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k+6),代入y=-$\frac{1}{3}$(x+3)(x-6),
∴-$\frac{1}{3}$($\frac{\sqrt{2}}{2}$k)2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$k+6=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$k+6,-$\frac{1}{6}$k2+2$\sqrt{2}$k=0,
∴k=0(舍去),k=12$\sqrt{2}$y,
∴M(12,-30)

(3)如圖3,直線AC為y=-x+6,設(shè)D(t,-t+6)
∵直線AB為y=2x+6,
∴M(-$\frac{t}{2}$,-t+6)
∵ED∥AC,
∴kEO=kAC=-1,
∴直線EO為y=-x,聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=2x+6}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-2}\end{array}\right.$,
∴N(2,-2),
∴S重合=S△ABO-△BNO-S△AMG=$\frac{1}{2}$×3×6-$\frac{1}{2}$t×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×2,
=6-$\frac{{t}^{2}}{4}$=$\frac{2}{9}$×$\frac{1}{2}$×6×3,
∴t=±4,
∴t=4,D(4,2)
∴直線OD為y=$\frac{1}{2}$x,聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}+x+6}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3±\sqrt{33}}{4}}\\{y=\frac{3±\sqrt{33}}{8}}\end{array}\right.$,
∴P($\frac{3+\sqrt{33}}{4}$,$\frac{3+\sqrt{33}}{8}$)($\frac{3-\sqrt{33}}{4}$,$\frac{3-\sqrt{33}}{8}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題型,解題過(guò)程中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,銳角三角形函數(shù)的定義,平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算.求不規(guī)則圖形的面積時(shí),將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積是解題的難點(diǎn).另外,解答關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí),一定要分類(lèi)討論.

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