Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段AP為一邊，在其一側(cè)作等邊三角形APQ．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)，記Q的位置為B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，∠ABQ為定值；
（3）是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意作輔助線(xiàn)過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，
（2）根據(jù)∠PAQ=∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB，得出△APO≌△AQB總成立，得出當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與Q重合）時(shí)，∠ABQ為定值90°，
（3）根據(jù)點(diǎn)P在x的正半軸還是負(fù)半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答：（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，
∵A（0，2），△AOB為等邊三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=

3

，OC=AC=1，
即B（

3

，1）；

（2）證明：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，不失一般性，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，

AP=AQ ∠PAO=∠QAB AO=AB

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°總成立，
∴當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與O重合）時(shí)，∠ABQ為定值90°；

（3）解：由（2）可知，點(diǎn)Q總在過(guò)點(diǎn)B且與AB垂直的直線(xiàn)上，可見(jiàn)AO與BQ不平行．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，
此時(shí)，若AB∥OQ，四邊形AOQB即是梯形，
當(dāng)AB∥OQ時(shí)，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，可求得BQ=

3

，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=

3

，
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（-

3

，0）．
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在B的上方，
此時(shí)，若AQ∥OB，四邊形AOBQ即是梯形，
當(dāng)AQ∥OB時(shí)，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°．
又AB=2，可求得BQ=2

3

，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2

3

，
∴此時(shí)P的坐標(biāo)為（2

3

，0）．
綜上，P的坐標(biāo)為（-

3

，0）或（2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，難度適中．