Question

（2013•鄞州區(qū)模擬）對于二次函數C：y=

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x²-4x+6和一次函數l：y=-x+6，把y=t（

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x²-4x+6）+（1-t）（-x+6）稱為這兩個函數的“再生二次函數”，其中，t是不為零的實數，其圖象記作拋物線E．設二次函數C和一次函數l的兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求點A，B的坐標，并判斷這兩個點是否在拋物線E上；
（2）二次函數y=-x²+5x+5是二次函數y=

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x²-4x+6和一次函數y=-x+6的一個“再生二次函數”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
（3）若拋物線E與坐標軸的三個交點圍成的三角形面積為6，求拋物線E的解析式．

Answer 1

分析：（1）聯立二次函數C與一次函數l的解析式，消掉y得到關于x的一元二次方程，解方程再求出相應的y的值，即可得到A、B的坐標，然后把點A、B的坐標代入拋物線E的解析式進行驗證即可；
（2）根據拋物線E必過定點A、B，代入二次函數y=-x²+5x+5進行驗證即可；
（3）設拋物線E截x軸的線段長為a，先利用三角形的面積求出a的長，再根據點B的坐標求出與x軸的另一交點的坐標，然后代入拋物線求解即可得到t的值，從而得解．

解答：解：（1）聯立

y= 1 2 x2-4x+6 y=-x+6

，
消掉y得，

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2

x²-4x+6=-x+6，
整理得，x²-6x=0，
解得x₁=0，x₂=6，
∴y₁=6，y₂=-6+6=0，
∴點A（0，6），B（6，0），
當x=0時，y=t（

1

2

×0²-4×0+6）+（1-t）（-0+6）=6t+6-6t=6，
當x=6時，y=t（

1

2

×6²-4×6+6）+（1-t）（-6+6）=0，
∴點A、B在拋物線E上；

（2）∵拋物線E一定經過點A、B，
而對于二次函數y=-x²+5x+5，當x=0時，y=5≠6，
∴二次函數y=-x²+5x+5不是二次函數y=

1

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x²-4x+6和一次函數y=-x+6的一個“再生二次函數”；

（3）由（1）得，拋物線E與x軸的一個交點為B，與y軸的交點為A，
設拋物線E截x軸的線段長為a，則S=

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a×6=6，
解得a=2，
所以，與x軸的另一個交點為（4，0）或（8，0），
點（4，0）代入拋物線E得，y=t（

1

2

×4²-4×4+6）+（1-t）（-4+6）=0，
解得t=

1

2

，
此時y=

1

2

（

1

2

x²-4x+6）+（1-

1

2

）（-x+6）=

1

4

x²-

5

2

x+6，
點（8，0）代入拋物線E得，y=t（

1

2

×8²-4×8+6）+（1-t）（-8+6）=0，
解得t=

1

4

，
此時，y=

1

4

（

1

2

x²-4x+6）+（1-

1

4

）（-x+6）=

1

8

x²-

7

4

x+6．

點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要利用了聯立兩函數解析式求交點坐標，驗證點是否在二次函數圖象上，三角形的面積，二次函數圖象上點的坐標特征，讀懂題目信息，理解“再生二次函數”的定義是解題的關鍵．