Question

如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，以BP為一邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ．
（1）試觀察并猜想AP與CQ的大小關(guān)系；
（2）若∠APC=100°，△PQC為直角三角形，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)已知條件可判斷出△PBQ為等邊三角形，進(jìn)而判斷∠ABP=∠CBQ，容易發(fā)現(xiàn)△ABP≌△CBQ，問題即可解決；
（2）在第（1）題的基礎(chǔ)上通過觀察、分析圖中四邊形PBQC的各個內(nèi)角之間的內(nèi)在聯(lián)系，經(jīng)計(jì)算問題即可解決．

解答：解（1）猜想：AP=CQ；
證明如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ABC=60°；
又∵∠PBQ=60°，
∴∠ABC=∠PBQ，
故∠ABP=∠CBQ；
又∵BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ
（2）設(shè)∠APB=x，∠CPQ=y，∠PQC=z；
∵BP=BQ，∠PBQ=60°，
∴△PBQ為等邊三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=60°，由∠APC=100°知：
x+y=360°-100°-60°=200°；
由△ABP≌△CBQ知：∠BQC=∠APB=x；
∴60°+z+y=200°，故z+y=140°，
∵△PQC為直角三角形，
∴z=90°或y=90°，
當(dāng)z=90°時，∠APB=60°+90°=150°；
當(dāng)y=90°時，∠APB=200°-90°=110°
綜上所述∠APB=150°或110°．

點(diǎn)評：考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、等邊三角形的判定及其性質(zhì)等的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷出圖形中隱含的一對全等三角形；對猜想判斷能力、邏輯推理能力提出了較高的要求．