Question

如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，⊙O過D、B、C三點，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）如果∠ACB=75°．
①若⊙O的半徑為2，求BD的長；
②求CD：BC的值．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由∠DOC=2∠ACD=90°易得∠ACD=45°，而OC=OD，則可判斷△OCD為等腰直角三角形，所以∠OCD=45°，則∠OCA=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到直線AC是⊙O的切線；
（2）作DH⊥BC于H．
①先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CD=

2

OC=2

2

，再根據(jù)圓周角定理得∠B=

1

2

∠COD=∠B=45°，由于∠ACB=75°，∠ACD=45°，所以∠BCD=30°；在Rt△CDH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得DH=

1

2

DC=

2

，在Rt△BDH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=

2

DH=2；
②設DH=x，在Rt△CDH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到CD=2DH=2x，CH=

3

DH=

3

x；在Rt△BDH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BH=DH=x，則BC=（

3

+1）x，所以CD：BC=2x：（

3

+1）x=（

3

-1）：1．

解答：（1）證明：∵∠DOC=2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°，
∵OC=OD，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴∠OCD=45°，
∴∠OCA=∠OCD+∠ACD=90°，
∴OC⊥AC，
∴直線AC是⊙O的切線；
（2）作DH⊥BC于H，如圖，
①在Rt△OCD中，CD=

2

OC=2

2

，
∵∠B=

1

2

∠COD，
∴∠B=45°，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=30°，
在Rt△CDH中，DH=

1

2

DC=

2

，
在Rt△BDH中，BD=

2

DH=

2

×

2

=2；
②設DH=x，
在Rt△CDH中，CD=2DH=2x，CH=

3

DH=

3

x，
在Rt△BDH中，BH=DH=x，
∴BC=BH+CH=x+

3

x=（

3

+1）x，
∴CD：BC=2x：（

3

+1）x=（

3

-1）：1，即
CD：BC的值為

3

-1．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關系．