Question

如圖，已知梯形ABCD中AD∥BC，AB=DC，對角線AC平分∠BCD，AC⊥AB，且梯形的周長是20，求AC的長．

Answer 1

解：∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AD=CD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠B=∠BCD=2∠1，
又∵AC⊥AB，
∴∠1+∠B=90°，
即∠1+2∠1=90°，
解得∠1=30°，
∴BC=2AB，
∵梯形的周長是20，
∴AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB+AB=5AB=20，
解得AB=4，
∴BC=2×4=8，
在Rt△ABC中，AC===4．
分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1=∠3，然后得到∠2=∠3，根據(jù)等角對等邊可得AD=CD，再根據(jù)等腰梯形同一底上的兩底角相等求出∠B=2∠1，然后利用直角三角形兩銳角互余求出∠1=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得BC=2AB，再根據(jù)梯形的周長是20求出AB的長，從而得到BC的長，然后利用勾股定理列式計算即可得解．
點評：本題考查了梯形的性質(zhì)，主要利用了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰梯形同一底上的兩底角相等的性質(zhì)，以及直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，求出△ABC是有一個角是30°的直角三角形是解題的關(guān)鍵，利用弧線加阿拉伯?dāng)?shù)字表示角更直觀．