Question

已知：在菱形中，是對角線上的一動點．

（1）如圖甲，為線段上一點，連接并延長交于點，當是的中點時，求證：；

（2）如圖乙，連結(jié)并延長，與交于點，與的延長線交于點．若，求和的長．

 

Answer 1

（1）證明：∵ABCD為菱形，∴AD∥BC。

              ∴∠OBP=∠ODQ

            ∵O是是的中點，

            ∴OB=OD

            在△BOP和△DOQ中，

            ∵∠OBP=∠ODQ，OB=OD，∠BOP=∠DOQ

∴△BOP≌△DOQ（ASA）

∴OP=OQ。

（2）解：如圖，過A作AT⊥BC，與CB的延長線交于T.

∵ABCD是菱形，∠DCB=60°

∴AB=AD=4，∠ABT=60°

∴AT=ABsin60°=

TB=ABcos60°=2

∵BS=10，∴TS=TB+BS=12，

∴AS=。

∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB。

∴，

則,∴

∵AS=，∴。

同理可得△ARD∽△SRC。

∴,

則,∴，

∴。

∴OR=OS-RS=。