Question

如圖①，二次函數(shù)的拋物線的頂點坐標(biāo)C，與x軸的交于A(1,0)、B(-3,0)兩點，與y軸交于點D（0,3）

1.求這個拋物線的解析式

2.如圖②，過點A的直線與拋物線交于點E，交軸于點F，其中點E的橫坐標(biāo)為-2，若直線為拋物線的對稱軸，點G為直線上的一動點，則軸上是否存在一點H，使四點所圍成的四邊形周長最小，若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

3.如圖③，連接AC交y軸于M，在x軸上是否存在點P，使以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖①                                     圖②

圖③

 

Answer 1

 

1.設(shè)所求拋物線的解析式為：,將A(1,0)、B(-3,0)、 D（0,3）代入，得      …………………………………………2分

    即所求拋物線的解析式為：    ……………………………3分

2.如圖④，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F與點I關(guān)于x軸對稱，

    在x軸上取一點H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF＝HI…………………①

    設(shè)過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝kx＋b（k≠0），

    ∵點E在拋物線上且點E的橫坐標(biāo)為-2，將x＝-2，代入拋物線，得

    ∴點E坐標(biāo)為（-2，3）………………………………………………………………4分

又∵拋物線圖象分別與x軸、y軸交于點A(1,0)、B(-3,0)、

D（0，3），所以頂點C（-1,4）

    ∴拋物線的對稱軸直線PQ為：直線x＝-1，   [中國教#&~@育出%版網(wǎng)]

     ∴點D與點E關(guān)于PQ對稱，GD＝GE……………………………………………②  

分別將點A（1，0）、點E（-2，3）

代入y＝kx＋b，得：

解得：

  過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：

y＝-x＋1         

∴當(dāng)x＝0時，y＝1  

∴點F坐標(biāo)為（0，1）……………………5分 

∴=2………………………………………③ 

  又∵點F與點I關(guān)于x軸對稱，   

∴點I坐標(biāo)為（0，-1）   

∴……………………………………④

  又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，

   ∴只要使DG＋GH＋HI最小即可        ……………………………………6分

    由圖形的對稱性和①、②、③，可知，

    DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

    只有當(dāng)EI為一條直線時，EG＋GH＋HI最小

    設(shè)過E（-2，3）、I（0，-1）兩點的函數(shù)解析式為：，

分別將點E（-2，3）、點I（0，-1）代入，得：

解得：

     過I、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝-2x-1

    ∴當(dāng)x＝-1時，y＝1；當(dāng)y＝0時，x＝-；  

    ∴點G坐標(biāo)為（-1，1），點H坐標(biāo)為（-，0）

    ∴四邊形DFHG的周長最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

由③和④，可知：

    DF＋EI＝

∴四邊形DFHG的周長最小為.    …………………………………………7分

3.如圖⑤ ，

由(2)可知，點A(1,0)，點C（-1,4），設(shè)過A(1,0)，點C（-1,4）兩點的函數(shù)解析式為：，得：

解得：，

過A、C兩點的一次函數(shù)解析式為：y＝-2x+2,當(dāng)x＝0時，y＝2，即M的坐標(biāo)為（0,2）；

由圖可知，△AOM為直角三角形，且，   ………………8分

要使，△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1:2即可，設(shè)P(,0)，CM=，且∠CPM不可能為90°時，因此可分兩種情況討論；    ……………………………………………………………………………9分

①當(dāng)∠CMP=90°時，CM=，若則，可求的P（-4,0），則CP=5，，即P（-4,0）成立，若由圖可判斷不成立；……………………………………………………………………………………10分

②當(dāng)∠PCM=90°時，CM=，若則，可求出

P（-3,0），則PM=，顯然不成立，若則，更不可能成立.……11分

綜上所述，存在以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似，點P的坐標(biāo)為（-4,0）12分

解析:(1)直接利用三點式求出二次函數(shù)的解析式；

（2）若四邊形DFHG的周長最小，應(yīng)將邊長進行轉(zhuǎn)換，利用對稱性，要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，只要使DG＋GH＋HI最小即可，   

   由圖形的對稱性和，可知，HF＝HI，GD＝GE，

 DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

    只有當(dāng)EI為一條直線時，EG＋GH＋HI最小，即

，DF＋EI＝

即邊形DFHG的周長最小為.

（3）要使△AOM與△PCM相似，只要使△PCM為直角三角形，且兩直角邊之比為1:2即可，設(shè)P(,0)，CM=，且∠CPM不可能為90°時，因此可分兩種情況討論， ①當(dāng)∠CMP=90°時，CM=，若則，可求的P（-4,0），則CP=5，，即P（-4,0）成立，若由圖可判斷不成立； ②當(dāng)∠PCM=90°時， CM=，若則，可求出P（-3,0），則PM=，顯然不成立，若則，更不可能成立.   即求出以P、C、M為頂點的三角形與△AOM相似的P的坐標(biāo)（-4，0）