Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC、BC的長(zhǎng)恰好為方程x²-14x+a=0的兩根，且AC-BC=2，D為AB的中點(diǎn)．
（1）求a的值．
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒2個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P速度變?yōu)槊棵?單位，同時(shí)點(diǎn)Q速度變?yōu)槊棵?個(gè)單位．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并指出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由根與系數(shù)關(guān)系，得AC+BC=14，結(jié)合已知AC-BC=2，可求AC、BC的值，由AC•BC=a求a的值；
（2）由勾股定理得AB=10，則AD=5，當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，t=2.5，此時(shí)BQ=5，QC=BC-BQ=1，點(diǎn)Q到C點(diǎn)還需要1秒，根據(jù)時(shí)間段分別求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵AC、BC的長(zhǎng)為方程x²-14x+a=0的兩根，
∴AC+BC=14，
又∵AC-BC=2，
∴AC=8，BC=6，
∴a=8×6=48；

（2）作PH⊥BC，垂足為H，
∵∠ACB=90°，
∴AB=

AC2+ BC2

=10．
又∵D為AB的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AB=5．
當(dāng)0＜t≤2.5時(shí)，由PH∥AC得

PH

AC

=

PB

AB

，即

PH

8

=

10-2t

10

，
解得PH=

4

5

（10-2t），
S=

1

2

×CQ×PH=

1

2

（6-2t）×

4

5

（10-2t）=1.6t²-12.8t+24，
當(dāng)2.5＜t≤3.5時(shí)，
同理，得S=1.2t²-9.2t+17.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)比例表示△PCQ的高，本題還考查了分類討論的思想．