Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點P、Q為AB邊及BC邊上的兩個動點．
（1）若點P從點A沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，兩個點同時出發(fā)．
①經(jīng)過幾秒，△PBQ的面積等于8cm²；
②是否存在這樣的時刻，使△PBQ的面積等于10cm²？如果存在請求出來，如果不存在，請說明理由．
（2）假設點P、Q可以分別在AB、BC邊上任意移動，是否存在PQ同時平分△ABC的周長和面積的情況？如果存在請求出BP的長度；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一元二次方程的應用

專題：幾何動點問題

分析：（1）①設出運動所求的時間，可將BP和BQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時間求出；
②根據(jù)△PBQ的面積等于10cm²得到方程

1

2

•2t(6-t)=10，再根據(jù)判別式即可作出判斷；
（2）設BP=x，則BQ=12-x，可得

1

2

x（12-x），解得x的值，再與BP，BQ的長作出判斷．

解答：解：（1）①設運動時間為t（s），得

1

2

•2t(6-t)=8，
解得t₁=2，t₂=4．
故經(jīng)過2或4秒，△PBQ的面積等于8cm²；
②依題意有

1

2

•2t(6-t)=10，
即t²-6t+10=0，
△=6²-4×10=-4＜0，
故不存在這樣的時刻，使△PBQ的面積等于10cm²．

（2）設BP=x，則BQ=12-x，
可得

1

2

x（12-x）=

1

2

×6×8×

1

2

，
解得x=6±2

3

，
當x=6+2

3

時，與BP≤6矛盾；
當x=6-2

3

時，BQ=6+2

3

，與BQ≤8矛盾
所以這樣的PQ不存在．

點評：本題考查了一元二次方程的應用．關鍵是用含時間的代數(shù)式準確表示BP和BQ的長度，再根據(jù)三角形的面積公式列出一元二次方程，進行求解．