Question

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C，OC=3，連接BC．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上的一點(diǎn)，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B、P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k，可求得反比例函數(shù)解析式；
（2）由條件可求得B、C的坐標(biāo)，可先求得△ABC的面積，再結(jié)合△OPC與△ABC的面積相等求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)A（3，a），
把x=3代入y=2x中，得y=2×3=6，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，6），
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=3×6=18，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{18}{x}$；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC=3，
∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-6），
∴B到OC的距離為6，
∴S_△ABC=2S_△ACO=2×$\frac{1}{2}$×3×6=18，
∴S_△OPC=18，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，$\frac{18}{x}$），則P到OC的距離為|$\frac{18}{x}$|，
∴$\frac{1}{2}$×|$\frac{18}{x}$|×3=18，解得x=$\frac{3}{2}$或-$\frac{3}{2}$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，12）或（-$\frac{3}{2}$，-12）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及函數(shù)的交點(diǎn)問題，在（1）中求得A點(diǎn)坐標(biāo)、在（2）中求得P點(diǎn)到OC的距離是解題的關(guān)鍵．