Question

（2004•杭州）二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的一部分如圖，已知它的頂點(diǎn)M在第二象限，且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（0，1）．
（1）請判斷實(shí)數(shù)a的取值范圍，并說明理由；
（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，當(dāng)△AMC的面積為△ABC面積的倍時(shí)，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B代入拋物線的解析式中，可得出a、b的關(guān)系式，然后用a表示出拋物線的解析式．根據(jù)圖象首先肯定的是拋物線的開口向下，因此a＜0，由于拋物線頂點(diǎn)在第二象限即拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，根據(jù)拋物線的對稱性可知：A點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱點(diǎn)必在（-1，0）的左側(cè)，因此當(dāng)x=-1時(shí)，拋物線的值必大于0由此可求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)拋物線的解析式（只含a一個(gè)待定系數(shù)的函數(shù)式）表示出頂點(diǎn)M和C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)題中給出的面積的等量關(guān)系式，可求出a的值．
解答：解：（1）由圖象可知：a＜0
圖象過點(diǎn)（0，1），
所以c=1，圖象過點(diǎn)（1，0），
則a+b+1=0
當(dāng)x=-1時(shí)，應(yīng)有y＞0，則a-b+1＞0
將a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，
解得a＞-1
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1＜a＜0；

（2）此時(shí)函數(shù)y=ax²-（a+1）x+1，
M點(diǎn)縱坐標(biāo)為：=，
圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：ax²-（a+1）x+1=0，
解得；x ₁=1，x ₂=，
則AC=1-=，
要使S_△AMC=××==S_△ABC=•
可求得a=．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)、圖形面積的求法等知識點(diǎn)．