Question

5．如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，EC與AD交于點(diǎn)F，連結(jié)ED．
（1）求證：ED∥AC；
（2）若AB=3，BC=4，求四邊形ACDE的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明ED∥AC，只要證明∠DAC=∠EDF即可．
（2）設(shè)AF的長(zhǎng)為x，在RT△DFC中利用勾股定理求出x得AF：DF=25：7，利用$\frac{{{S_{△EDC}}}}{{{S_{△AEC}}}}=\frac{ED}{AC}=\frac{DF}{AF}=\frac{7}{25}$求出△EDC的面積即可．

解答 （1）證明：在矩形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∵將矩形沿AC折疊后，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，∴EC=BC，∠ACB=∠ACE
∴AD=EC，∠DAC=∠ACE，∴AF=FC，∴AD-AF=EC-FC，即EF=DF
∴∠DEF=∠EDF
又∵∠DAC+∠ACE+∠AFC=180°，∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∠AFC=∠DFE
∴∠DAC=∠EDF
∴ED∥AC．
（2）解：在矩形ABCD中，∠B=90°，又∵AB=3，BC=4，∴S_△ABC=6，且AC=5，
設(shè)AF的長(zhǎng)為x，F(xiàn)D=4-x，F(xiàn)D=x，CD=3，∠CDF=90°，由勾股定理得（4-x）²=x²+9，
解得$x=\frac{25}{8}$，∴FD=$\frac{7}{8}$，∴AF：FD=25：7
∵△ABC折疊為△AEC，∴S_△AEC=6，∵ED∥AC，∴△EDC與△AEC等高，
∴$\frac{{{S_{△EDC}}}}{{{S_{△AEC}}}}=\frac{ED}{AC}=\frac{DF}{AF}=\frac{7}{25}$，∴${S_{△EDC}}=\frac{42}{25}$，∴${S_{四邊形ACDE}}=6+\frac{42}{25}=\frac{192}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折變換、勾股定理、平行線的判定定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用平行線間的距離相等，得△AEC與△EDC的面積比等于AC：ED=AF：DF，屬于中考常考題型．