【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣3,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)P在拋物線上,且S△AOP=4SBOC , 求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖b,設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作DQ⊥x軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DQ長(zhǎng)度的最大值
【答案】
(1)
解:把A(﹣3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,得
,
解得 .
故該拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+3.
(2)
解:由(1)知,該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3,則易得B(1,0).
∵S△AOP=4S△BOC,
∴ ×3×|﹣x2﹣2x+3|=4× ×1×3.
整理,得(x+1)2=0或x2+2x﹣7=0,
解得x=﹣1或x=﹣1±2 .
則符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(﹣1,4)或(﹣1+2 ,﹣4)或(﹣1﹣2 ,﹣4)
(3)
解:設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t,將A(﹣3,0),C(0,3)代入,
得 ,
解得 .
即直線AC的解析式為y=x+3.
設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),(﹣3≤x≤0),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x2﹣2x+3),
QD=(﹣x2﹣2x+3)﹣(x+3)=﹣x2﹣3x=﹣(x+ )2+ ,
∴當(dāng)x=﹣ 時(shí),QD有最大值
【解析】(1)把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式,列出關(guān)于系數(shù)的方程組,通過(guò)解方程組求得系數(shù)的值;(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,﹣x2﹣2x+3),根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3,再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x﹣3),然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在兩坐標(biāo)軸上,且點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)C(﹣1,0),如圖所示:拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)性質(zhì)探究:試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.
猜想結(jié)論:(要求用文字語(yǔ)言敘述)
寫(xiě)出證明過(guò)程(先畫(huà)出圖形,寫(xiě)出已知、求證).
(3)問(wèn)題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱,再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱,…,如此作下去,則△B2015A2016B2016的頂點(diǎn)A2016的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn),連接AE,把∠B沿AE折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處.當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí),BE的長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0),B(5,﹣6),C(6,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,在直線AB下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P使四邊形PACB的面積最大?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)Q為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試指出△QAB為等腰三角形的點(diǎn)Q一共有幾個(gè)?并請(qǐng)求出其中某一個(gè)點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在一次測(cè)量活動(dòng)中,小麗站在離樹(shù)底部E處5m的B處仰望樹(shù)頂C,仰角為30°,已知小麗的眼睛離地面的距離AB為1.65m,那么這棵樹(shù)大約有多高?(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù): ≈1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A(0,4),B(7,0),C(7,4),連接AC,BC得到矩形AOBC,點(diǎn)D的邊AC上,將邊OA沿OD折疊,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)邊為A'.若點(diǎn)A'到矩形較長(zhǎng)兩對(duì)邊的距離之比為1:3,則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為 .
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