Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙M分別交坐標軸于點A、B、C，圓的半徑為，點M（1，1）．
（1）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，求此拋物線的函數(shù)解析式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在一點D，使得DO把△BOC的面積分成1：2兩部分？若存在，求出直線DO的解析式；若不存在，請說明理由；
（3）若一個動點P自O(shè)C的中點H出發(fā)，先到達x軸上某點（設(shè)為點E）．再到達（1）中拋物線的對稱軸上某點（設(shè)為點F），最后運動到點C，求使點P運動的總路程最短的點E、F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

解：（1）過M點作DM⊥x軸于點D，作ME⊥y軸于點E，則OD=OE=1，連接BM，

在Rt△BMD中，BD=，
∴CE=BD=2，AD=DB=2，
∴點A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
代入拋物線解析式可得：，
解得：
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）存在這樣的點D．
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
將點B（3，0），點C（0，3）代入可得：，
解得：，
故BC的解析式為y=-x+3，
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，
由，得，
∴OD與BC的交點為（），
∴，
①若，
則；
②若，
則k=2．
所以直線OD的解析式為或y=2x．

（3）作點C關(guān)于直線x=1的對稱點C'（2，3），作H點關(guān)于x軸的對稱點H'（0，-），
直線C'H'與x軸交于點E，與直線x=1交于點F，則點E、F即為所求，

求得直線C'H'的解析式為，
∴，，
所以最短路徑的長為．
分析：（1）過M點作DM⊥x軸于點D，作ME⊥y軸于點E，分別求出OA、OB、OC的長度即可得出三點坐標，利用待定系數(shù)法可求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）先求出直線BC的解析式，設(shè)直線OD的解析式為y=kx，求出OD與BC的交點坐標，分兩種情況討論，①S_△BOD=S_△BOC，②S_△BOD=S_△BOC，從而分別求出k的值．
（3）C點關(guān)于對稱軸的對稱點C′，做H點關(guān)于x軸的對稱點H′，連接C′H′，則E、F分別為直線C′H′與x軸和拋物線對稱軸的交點，求出H'、C'的坐標，即可得出這個最短總路徑的長．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、垂徑定理及軸對稱求最短路徑的知識，要求同學(xué)們掌握分類討論思想的運用，第三問關(guān)鍵是確定點E、點F的位置，此題難度較大．