Question

【題目】從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．

（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且AD=CD，求∠ACB的度數(shù)．
（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC= ，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，

∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD為等腰三 角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線

（2）解：①當AD=CD時，如圖2，

∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．

②當AD=AC時，如圖3中，∠ACD=∠ADC=（180°-48°）÷2=66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．

③當AC=CD時，如圖4中，

∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄，∴∠ACB=96°或114°

（3）解：由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴ 設(shè)BD=x，∴ ），∵x＞0，∴x= ，∵△BCD∽△BAC，∴ = ，∴CD= ×2= ．

【解析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線性質(zhì)，得到△ABC不是等腰三角形，△ACD為等腰三角形，△BCD∽△BAC，得到CD是△ABC的完美分割線；（2）由CD是△ABC的完美分割線，∠A=48°，AD=CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出∠ACB的度數(shù).
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．