Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的距離稱為碟高．
（1）拋物線y=

1

2

x²對應(yīng)的碟寬為

 

；拋物線y=4x²對應(yīng)的碟寬為

 

；拋物線y=ax²（a＞0）對應(yīng)的碟寬為

 

；拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）對應(yīng)的碟寬為

 

；
（2）拋物線y=ax²-4ax-

5

3

（a＞0）對應(yīng)的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；
（3）將拋物線y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的對應(yīng)準(zhǔn)蝶形記為F_n（n=1，2，3…），定義F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．若F_n與F_n-1的相似比為

1

2

，且F_n的碟頂是F_n-1的碟寬的中點，現(xiàn)將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為F₁．
①求拋物線y₂的表達(dá)式；
②若F₁的碟高為h₁，F(xiàn)₂的碟高為h₂，…F_n的碟高為h_n，則h_n=

 

，F(xiàn)_n的碟寬右端點橫坐標(biāo)為

 

；F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達(dá)式；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)定義易算出含具體值的拋物線y=

1

2

x²，拋物線y=4x²的碟寬，且都利用端點（第一象限）橫縱坐標(biāo)的相等．推廣至含字母的拋物線y=ax²（a＞0），類似．而拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）為頂點式，可看成y=ax²平移得到，則發(fā)現(xiàn)碟寬只和a有關(guān)．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，根據(jù)碟寬易得a的值．
（3）①由y₁，易推y₂．②結(jié)合畫圖，易知h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在直線x=2上，但證明需要有一般推廣，可以考慮h_n∥h_n-1，且都過F_n-1的碟寬中點，進(jìn)而可得．另畫圖時易知碟寬有規(guī)律遞減，所以推理也可得右端點的特點．對于“F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點是否在一條直線上？”，如果寫出所有端點規(guī)律似乎很難，找規(guī)律更難，所以可以考慮基礎(chǔ)的幾個圖形關(guān)系，如果相鄰3個點構(gòu)成的兩條線段不共線，則結(jié)論不成立，反則結(jié)論成立．求直線方程只需考慮特殊點即可．

解答：解：（1）4；

1

2

；

2

a

；

2

a

．
分析如下：
∵a＞0，
∴y=ax²的圖象大致如下：

其必過原點O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．
∵△OAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=

1

2

∠AOB=

1

2

•90°=45°，
∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（-

1

a

，

1

a

），B（

1

a

，

1

a

），C（0，

1

a

），
∴AB=

2

a

，OC=

1

a

，
即y=ax²的碟寬為

2

a

．
①拋物線y=

1

2

x²對應(yīng)的a=

1

2

，得碟寬

2

a

為4；
②拋物線y=4x²對應(yīng)的a=4，得碟寬為

2

a

為

1

2

；
③拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為

2

a

；
④拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）可看成y=ax²向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到的圖形，
∵平移不改變形狀、大小、方向，
∴拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）的準(zhǔn)碟形≌拋物線y=ax²的準(zhǔn)碟，
∵拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為

2

a

，
∴拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0），碟寬為

2

a

．

（2）∵y=ax²-4ax-

5

3

=a（x-2）²-（4a+

5

3

），
∴同（1），其碟寬為

2

a

，
∵y=ax²-4ax-

5

3

的碟寬為6，
∴

2

a

=6，
解得 a=

1

3

，
∴y=

1

3

（x-2）²-3．

（3）①∵F₁的碟寬：F₂的碟寬=2：1，
∴

2

a1

=

4

a2

，
∵a₁=

1

3

，
∴a₂=

2

3

．
∵y=

1

3

（x-2）²-3的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴F₂的碟頂坐標(biāo)為（2，0），
∴y₂=

2

3

（x-2）²．
②∵F_n的準(zhǔn)碟形為等腰直角三角形，
∴F_n的碟寬為2h_n，
∵2h_n：2h_n-1=1：2，
∴h_n=

1

2

h_n-1=（

1

2

）²h_n-2=（

1

2

）³h_n-3=…=（

1

2

）ⁿ⁺¹h₁，
∵h(yuǎn)₁=3，
∴h_n=

3

2n-1

．
∵h(yuǎn)_n∥h_n-1，且都過F_n-1的碟寬中點，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在一條直線上，
∵h(yuǎn)₁在直線x=2上，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在直線x=2上，
∴F_n的碟寬右端點橫坐標(biāo)為2+

3

2n-1

．
另，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬右端點在一條直線上，直線為y=-x+5．
分析如下：
考慮F_n-2，F(xiàn)_n-1，F(xiàn)_n情形，關(guān)系如圖2，

F_n-2，F(xiàn)_n-1，F(xiàn)_n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F(xiàn)，I分別為其碟寬的中點，都在直線x=2上，連接右端點，BE，EH．
∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，
∴四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=

1

2

•∠GFH=

1

2

•∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都過E點，
∴HE，EB在一條直線上，
∴F_n-2，F(xiàn)_n-1，F(xiàn)_n的碟寬的右端點是在一條直線，
∴F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬的右端點是在一條直線．
∵F₁：y₁=

1

3

（x-2）²-3準(zhǔn)碟形右端點坐標(biāo)為（5，0），
  F₂：y₂=

2

3

（x-2）²準(zhǔn)碟形右端點坐標(biāo)為（2+

3

2

，

3

2

），
∴待定系數(shù)可得過兩點的直線為y=-x+5，
∴F₁，F(xiàn)₂，…，F(xiàn)_n的碟寬的右端點是在直線y=-x+5上．

點評：本題考查學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)、理解與應(yīng)用能力．題目中主要涉及特殊直角三角形，二次函數(shù)解析式與圖象性質(zhì)，多點共線證明等知識，綜合難度較高，學(xué)生清晰理解有一定困難．