Question

已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，3），圖象向右平移3個單位后以y軸為對稱軸，圖象向上平移2個單位后與x軸只有一個公共點(diǎn)．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）寫出y＞0時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖象向右平移3個單位后以y軸為對稱軸得到拋物線的對稱軸為直線x=-3，由圖象向上平移2個單位后與x軸只有一個公共點(diǎn)，于是可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+3）²-2，然后把（0，3）代入計(jì)算出a即可；
（2）先令y=0，求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫出拋物線在x軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．

解答：解：（1）∵圖象向右平移3個單位后以y軸為對稱軸，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-3，
∵圖象向上平移2個單位后與x軸只有一個公共點(diǎn)，
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-2），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）²-2，
把（0，3）代入得9a-2=3，解得a=

5

9

，
所以拋物線的解析式為y=

5

9

（x+3）²-2，

（2）當(dāng)y=0時，

5

9

（x+3）²-2=0，
解得x₁=-3+

3 10

5

，x₁=-3-

3 10

5

，
∴當(dāng)x＞-3+

3 10

5

或x＜-3-

3 10

5

時，y＞0．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換：先把二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）配成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，對稱軸為直線x=-

b

2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），然后把拋物線的平移問題轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)的平移問題．也考查了二次函數(shù)的三種形式．