Question

已知關(guān)于x的方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂．
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）根據(jù)題意，得
△=（2k-3）²-4（k-1）（k+1）
=4k²-12k+9-4k²+4
=-12k+13＞0．
∴k＜

13

12

．
∴當(dāng)k＜

13

12

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）存在．如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則x₁+x₂=

2k-3

k-1

=0，解得k=

3

2

．
檢驗(yàn)知k=

3

2

是

2k-3

k-1

=0的解．
所以當(dāng)k=

3

2

時(shí)，方程的兩實(shí)數(shù)根x₁，x₂互為相反數(shù)．
當(dāng)你讀了上面的解答過程后，請(qǐng)判斷是否有錯(cuò)誤？如果有，請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處，直接寫出正確的答案．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式△＞0確定k的取值范圍，首先要理解方程是一元二次方程，即k-1≠0．
（2）若兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得出關(guān)于k的方程，求出k的值，看此時(shí)求得的k的值在不在（1）所求的k的取值范圍內(nèi)，再判斷是否存在滿足題意的k值．

解答：解：有，（1）和（2）都錯(cuò)誤．
（1）中，因?yàn)榉匠桃�有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則該方程還必須是一元二次方程，
即k-1≠0，k≠1．
則（1）的解應(yīng)為當(dāng)k＜

13

12

，且k≠1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）中，當(dāng)k=

3

2

時(shí)，結(jié)合（1）的結(jié)論，則此時(shí)方程無實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去．
因此不存在k，使方程兩實(shí)根互為相反數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系及取值范圍進(jìn)行檢驗(yàn)．