Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，-1），且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上的一動點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動（點(diǎn)P與A不重合），過點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在題（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，然后將函數(shù)圖象經(jīng)過的C點(diǎn)坐標(biāo)代入上式中，即可求出拋物線的解析式；
（2）由于PD∥y軸，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考慮兩種情況：
①以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，此時(shí)AP⊥DP，此時(shí)P點(diǎn)位于x軸上（即與B點(diǎn)重合），由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，易知OA=OC，則∠OAC=45°，所以O(shè)A平分∠CAP，那么此時(shí)D、P關(guān)于x軸對稱，可求出直線AC的解析式，然后設(shè)D、P的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線AC的解析式表示出D、P的縱坐標(biāo)，由于兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可據(jù)此求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）很顯然當(dāng)P、B重合時(shí)，不能構(gòu)成以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)P、F都在拋物線上，且點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，所以PF與x軸不平行，所以只有（2）②的一種情況符合題意，由②知此時(shí)P、Q重合；假設(shè)存在符合條件的平行四邊形，那么根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知：P、F的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可據(jù)此求出F點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，-1），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，
將C（0，3）代入上式，得：
3=a（0-2）²-1，a=1；
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P₁為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P₁與點(diǎn)B重合；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3；
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，
∴B（1，0），A（3，0）；
∴P₁（1，0）；
②當(dāng)點(diǎn)A為△AP₂D₂的直角頂點(diǎn)時(shí)；
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAD₂=45°；
當(dāng)∠D₂AP₂=90°時(shí)，∠OAP₂=45°，
∴AO平分∠D₂AP₂；
又∵P₂D₂∥y軸，
∴P₂D₂⊥AO，
∴P₂、D₂關(guān)于x軸對稱；
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0）．
將A（3，0），C（0，3）代入上式得：
，
解得；
∴y=-x+3；
設(shè)D₂（x，-x+3），P₂（x，x²-4x+3），
則有：（-x+3）+（x²-4x+3）=0，
即x²-5x+6=0；
解得x₁=2，x₂=3（舍去）；
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=x²-4x+3=2²-4×2+3=-1；
∴P₂的坐標(biāo)為P₂（2，-1）（即為拋物線頂點(diǎn)）．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（1，0），P₂（2，-1）；

（3）由（2）知，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P₁（1，0）時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形；
當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₂（2，-1）（即頂點(diǎn)Q）時(shí)，
平移直線AP交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于F；
∵P（2，-1），
∴可設(shè)F（x，1）；
∴x²-4x+3=1，
解得x₁=2-，x₂=2+；
∴符合條件的F點(diǎn)有兩個(gè)，
即F₁（2-，1），F(xiàn)₂（2+，1）．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的判定、平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，能力要求較高，難度較大．