Question

我國多地遭遇霧霾天氣，空氣污染嚴重．某小區(qū)計劃購買并安裝甲、乙兩種空氣凈化機共300臺．已知甲種機器每臺0.6萬元，乙種機器每臺0.9萬元．
（1）若購買機器共用210萬元，問甲、乙兩種機器各買多少臺？
（2）據(jù)統(tǒng)計，每臺甲、乙兩種機器對空氣的凈化指數(shù)（即CADR值）分別為0.2和0.6，問如何購買甲、乙兩種機器才能保證該小區(qū)的空氣凈化指數(shù)之和不低于90而且費用最低？

Answer 1

考點：一元一次不等式的應(yīng)用,一元一次方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）設(shè)甲種空氣凈化機x臺，則乙種空氣凈化機（300-x）臺，根據(jù)“甲種空氣凈化機費用+乙種空氣凈化機費用=210萬元”作為相等關(guān)系列方程即可求解；
（2）設(shè)買m臺甲種空氣凈化機，（300-m）臺乙種空氣凈化機該小區(qū)的空氣凈化指數(shù)之和不低于90，先根據(jù)“空氣凈化指數(shù)之和不低于90”列不等式求得m的取值范圍，再根據(jù)題意用m表示出費用，列成一次函數(shù)的形式，利用一次函數(shù)的單調(diào)性來討論費用的最小值，即函數(shù)最小值問題．

解答：解：（1）設(shè)甲種空氣凈化機x臺，則乙種空氣凈化機（300-x）臺，
由題意得0.6x+0.9（300-x）=210
解得x=200
∴300-200=100
答：甲種機器買200臺，乙種機器買100臺．

（2）設(shè)買m臺甲種空氣凈化機，（300-m）臺乙種空氣凈化，購買費用為y元
0.2m+0.6（300-m）≥90
解得m≤225
此時費用y=0.6m+0.9（300-m）
y=-0.3m+270
∵y是x的一次函數(shù)，y隨m的增大而減少
∴當(dāng)m_最大=225時，y_最小=-0.3×225+270=202.5（萬元）
即設(shè)買225臺甲種空氣凈化機，75臺乙種空氣凈化指數(shù)之和不低于90，費用最小為202.5萬元．

點評：本題考查一元一次方程和不等式的應(yīng)用，以及利用用一次函數(shù)解決實際問題．注意利用一次函數(shù)求最值時，關(guān)鍵是應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)；即由函數(shù)y隨x的變化，結(jié)合自變量的取值范圍確定最值．