Question

【題目】如圖，直線y=2x﹣2分別與x軸、y軸相交于M，N兩點(diǎn)，并且與雙曲線y=（k＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，AC與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E（m，n）．

（1）求證：；

（2）若，求＞2x﹣2的x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，P為雙曲線上一點(diǎn)，以O(shè)B，OP為鄰邊作平行四邊形，且平行四邊形的周長(zhǎng)最小，求第四個(gè)頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)、證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)、x＜﹣1或0＜x＜2；(3)、P（2，2）或（﹣2，﹣2），Q（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．

【解析】

試題分析：(1)、設(shè)A（x1，），B（x2，），則有AE=x1﹣x2，BE=﹣，EC=﹣x2，ED=，首先證明=，由此即可解決問(wèn)題．(2)、由DM∥AE，得==，設(shè)A（m，n）則B（﹣，﹣2n），把A、B代入y=2x﹣2得到：，解得：，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．(3)、因?yàn)辄c(diǎn)B是定點(diǎn)，OB是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OBPQ的周長(zhǎng)的最小值只需要求出OP的最小值即可，由P在y=上，設(shè)P（a，），因?yàn)镺P2=n2+=（n﹣）2+8，所以當(dāng)n﹣=0時(shí)，OP2的值最小，由此即可解決問(wèn)題．

試題解析：(1)、設(shè)A（x1，），B（x2，），則有AE=x1﹣x2，BE=﹣，EC=﹣x2，ED=，

∴=， ∴=．

(2)、∵DM∥AE， ∴， ∴A（m，n）則B（﹣，﹣2n），

把A、B代入y=2x﹣2得到， 解得， ∴A（2，2），B（﹣1，﹣4），

由圖象可知，＞2x﹣2時(shí)，x＜﹣1或0＜x＜2．

(3)、由（2）可知反比例函數(shù)解析式為y=，A（2，2），B（1，﹣4）， ∵四邊形OBPQ是平行四邊形，

∴OB=PQ，PO=BQ， ∵點(diǎn)B是定點(diǎn)，∴OB是定長(zhǎng)， ∴要求平行四邊形OBPQ的周長(zhǎng)的最小值只需要求出OP的最小值即可， ∵P在y=上，設(shè)P（a，）， ∴OP2=n2+=（n﹣）2+8，

∴當(dāng)n﹣=0時(shí)，OP2的值最小， ∴n=±2時(shí)，OP有最小值， ∴P（2，2）或（﹣2，﹣2），Q（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．