Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）若x₁+2x₂=3-

2

，求x₁，x₂及k的值；
（2）在（1）的條件下，求x13-3x12+2x₁+x₂的值．
（3）若以方程x²-2x+k²-4k-1=0的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上，求滿(mǎn)足條件的m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根可得出x₁+x₂與x₁+2x₂組成的方程組，求出x₁，x₂的值即可，再由x₁•x₂=k²-4k-1=-1即可求出k的值；
（2）先把x13-3x12+2x₁+x₂化為x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂的形式，再由（1）中x₁，x₂是原方程的根求出x₁²-2x₁=1，代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）由x₁，x₂是原方程的根可得x₁•x₂=k²-4k-1，再由以方程x²-2x+k²-4k-1=0的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上可知m=x₁•x₂=k²-4k-1，故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x₁+2x₂=3-

2

，
∴

x1+x2=2 x1+2x2=3- 2

，
解得

x1=1+ 2 x2=1- 2

，
∵x₁•x₂=k²-4k-1，
∴k²-4k-1=-1，
∴k₁=0，k₂=4；

（2）∵x13-3x12+2x₁+x₂
=x13-2x12-x₁²+2x₁+x₂
=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂，
又∵x₁，x₂是原方程的根，
∴x₁²-2x₁=1，
∴原式=x₁-1+x₂
=x₁+x₂-1
=2-1
=1；

（3）∵x₁，x₂是原方程的根，
∴x₁•x₂=k²-4k-1，
∵以方程x²-2x+k²-4k-1=0的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)恰在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上，
∴m=x₁•x₂
=k²-4k-1
=（k-2）²-5，
∴當(dāng)k=2時(shí)，m_最小=-5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟知若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則x₁•x₂=

c

a

，x₁+x₂=-

b

a

是解答此題的關(guān)鍵．