Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，⊙O交BC于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】（1）連接AD、OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得∠ADB=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD=CD，再根據(jù)中位線的性質(zhì)求出OD⊥DF，進(jìn)而根據(jù)切線的判定證明即可；

（2）連接OE，根據(jù)三角形的外角求出∠BAE的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理求出∠BOE的度數(shù)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可.

（1）連接AD、OD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°．

∵AB＝AC，∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF

即∠ODF＝90°．∴DF為⊙O的切線；

（2）連接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，

∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，

∴＝·4π＝π．