Question

如圖，已知點A、B是⊙O外兩個相異的點，點P在⊙O上，PA、PB分別與圓O交于異于點P的點D、C，且AD•AP=BC•BP．
（1）求證：△OAB是等腰三角形；
（2）設p為質(zhì)數(shù)，m為正整數(shù)，若AD•AP=p（2p+1），OA=m-1，⊙O的半徑為3，求OA的長度．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）延長AO交⊙O于E，延長BO交⊙O于F，OA交⊙O于G，BO交⊙O于H，如圖，⊙O的半徑為R，根據(jù)切割線定理AD•AP=AG•AE=（OA-R）（OA+R），BC•BP=BH•BF=（BO-R）（BO+R），由于AD•AP=BC•BP，則有（OA-R）（OA+R）=（BO-R）（BO+R），即可得到OA=OB；
（2）利用AD•AP=（OA-R）（OA+R）得到（OA-3）（OA+3）=p（2p+1），而OA=m-1，所以（m-4）•（m+2）=p（2p+1），利用整數(shù)的整除性得到

m-4=p m+2=2p+1

，然后解方程組求出m即可得到OA的長．

解答：（1）證明：延長AO交⊙O于E，延長BO交⊙O于F，OA交⊙O于G，BO交⊙O于H，如圖，⊙O的半徑為R，
則AD•AP=AG•AE=（OA-R）（OA+R），BC•BP=BH•BF=（BO-R）（BO+R），
∵AD•AP=BC•BP，
∴（OA-R）（OA+R）=（BO-R）（BO+R），
∴OA²-R²=OB²-R²，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形；
（2）解：∵AD•AP=（OA-R）（OA+R），
∴（OA-3）（OA+3）=p（2p+1），
∵OA=m-1，
∴（m-4）•（m+2）=p（2p+1），
∵p為質(zhì)數(shù)，m為正整數(shù)，
∴

m-4=p m+2=2p+1

，解得

m=9 p=5

，
∴OA的長為9-1=8．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切割線定理和與圓有關的性質(zhì)、等腰三角形的判定方法；運用質(zhì)數(shù)和整數(shù)的性質(zhì)進行特殊運算．