Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程x²-（m-2）x+m-3=0．
（1）求證：此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)拋物線y=x²-（m-2）x+m-3與y軸交于點(diǎn)M，若拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)恰好是點(diǎn)M，求m的值．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)該一元二次方程的根據(jù)的判別式△≥0可得此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式易求得該函數(shù)圖象與x、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)恰好是點(diǎn)M”可以列出-1=m-3或m-3=3-m，即m=2或m=3．

解答：（1）證明：△=b²-4ac=（m-2）²-4（m-3）=m²-8m+16=（m-4）²≥0，
∴此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：拋物線y=x²-（m-2）x+m-3與y軸交點(diǎn)為M（0，m-3），
拋物線與x軸的交點(diǎn)為（1，0）和（m-3，0），它們關(guān)于直線y=-x的對(duì)稱點(diǎn)分別為（0，-1）和（0，3-m）．
由題意，可得：-1=m-3或m-3=3-m，即m=2或m=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、根的判別式．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．