如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形ABCD的邊AB在x軸上,且AB=3,BC=2
3
,直線y=
3
x-2
3
經(jīng)過點C,交y軸于點G,且∠AGO=30°.
(1)點C、D的坐標;
(2)求頂點在直線y=
3
x-2
3
上且經(jīng)過點C、D的拋物線的解析式;
(3)將(2)中的拋物線沿直線y=
3
x-2
3
平移,平移后的拋物線交y軸于點F,頂點為點E.平移后是否存在這樣的拋物線,使△EFG為等腰三角形?若存在,請求出此時拋物線的解析式;若不存在,請明理由.
分析:(1)根據(jù)題意可得點C的縱坐標為3、2
3
,代入直線解析式可得出點C的橫坐標,繼而也可得出點D的坐標;
(2)先求出頂點坐標為(
5
2
,
3
2
),再利用頂點式求出拋物線的解析式;
(3)先設(shè)拋物線解析式為y=
2
3
3
(x-m)2+
3
m-2
3
,然后分類討論:①當FG=EG時,F(xiàn)G=EG=2m,則F(0,2m-2
3
),代入解析式得:
2
3
3
m2+
3
m-2
3
=2m-2
3
,求m的值;②當GE=EF時,F(xiàn)G=2
3
m,則F(0,2
3
m-2
3
),代入解析式得:
2
3
3
m2+
3
m-2
3
=2
3
m-2
3
,求m的值;③當FG=FE時,不存在.
解答:解:(1)令y=2
3
,2
3
=
3
x-2
3
,解得x=4,則OA=4-3=1,
∴C(4,2
3
),D(1,2
3
);

(2)由二次函數(shù)對稱性得,頂點橫坐標為
1+4
2
=
5
2
,
令x=
5
2
,則y=
3
×
5
2
-2
3
=
3
2
,
∴頂點坐標為(
5
2
,
3
2
),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x-
5
2
2+
3
2
,把點D(1,2
3
)代入得,a=
2
3
3
,
∴解析式為y=
2
3
3
(x-
5
2
2+
3
2
;

(3)設(shè)頂點E在直線上運動的橫坐標為m,則E(m,
3
m-2
3
)(m>0)
∴可設(shè)解析式為y=
2
3
3
(x-m)2+
3
m-2
3
,
①當FG=EG時,F(xiàn)G=EG=2m,則F(0,2m-2
3
),代入解析式得:
2
3
3
m2+
3
m-2
3
=2m-2
3
,
得m=0(舍去),m=
3
-
3
2
,
此時所求的解析式為:y=
2
3
3
(x-
3
+
3
2
2+3-
7
3
2

②當GE=EF時,F(xiàn)G=2
3
m,則F(0,2
3
m-2
3
),
代入解析式得:
2
3
3
m2+
3
m-2
3
=2
3
m-2
3
,解得m=0(舍去),m=
3
2
,
此時所求的解析式為:y=
2
3
3
(x-
3
2
2-
3
2
;
③當FG=FE時,不存在.
點評:本題考查了拋物線的性質(zhì)和它的頂點式.同時也考查了正方形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的運用.
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BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
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