Question

如圖，在矩形中，已知、兩點的坐標分別為，為的中點．設點是平分線上的一個動點（不與點重合）．

（1）試證明：無論點運動到何處，總與相等；

（2）當點運動到與點的距離最小時，試確定過三點的拋物線的解析式；

（3）設點是（2）中所確定拋物線的頂點，當點運動到何處時，的周長最��？求出此時點的坐標和的周長；

（4）設點是矩形的對稱中心，是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的坐標．

 

Answer 1

解：（1）∵點是的中點，∴，∴．

又∵是的角平分線，∴，

∴，∴．

（2）過點作的平分線的垂線，垂足為，點即為所求．

易知點的坐標為（2，2），故，作，

 

∵是等腰直角三角形，∴，

∴點的坐標為（3，3）．

∵拋物線經過原點，

∴設拋物線的解析式為．

又∵拋物線經過點和點，

∴有  解得

∴拋物線的解析式為．

（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點關于的平分線的對稱點即為點．

連接，它與的平分線的交點即為所求的點（因為，而兩點之間線段最短），此時的周長最小．

∵拋物線的頂點的坐標，點的坐標，

設所在直線的解析式為，則有，解得．

∴所在直線的解析式為．

點滿足，解得，故點的坐標為．

的周長即是．

（4）存在點，使．其坐標是或．