Question

17．如圖，在單位長度為1的正方形網格中，一段圓弧經過網格的交點A、B、C．
（1）請完成如下操作：①以點O為原點、豎直和水平方向為軸、網格邊長為單位長，建立平面直角坐標系；②根據圖形提供的信息，標出該圓弧所在圓的圓心D，并連接AD、CD．
（2）請在（1）的基礎上，完成下列填空：
①寫出點的坐標：C（6、2）、D（2、0）；
②⊙D的半徑=2$\sqrt{5}$（結果保留根號）；
③∠ADC的度數為90°．
④網格圖中是否存在過點B的直線BE是⊙D的切線？如果沒有，請說明理由；如果有，請直接寫出直線BE的函數解析式．

Answer 1

分析 （1）根據圖形和垂徑定理畫出圖形即可；
（2）①根據已知和網格得出即可；
②根據勾股定理求出半徑即可；
③證△AOD≌△DFC，根據全等得出∠OAD=∠CDF，即可求出答案；
④先畫出圖形，求出B、M的坐標，設出直線BE的解析式，代入求出即可．

解答 解：（1）如圖1所示：
；

（2）C（6，2），D（2，0），
①故答案為：（6、2）（2、0）；
②⊙D的半徑為：$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故答案為：2$\sqrt{5}$；
 ③∵OA=DF=4，CF=OD=2，∠AOD=∠DFC=90°，
∴在△AOD和△DFC中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DF}\\{∠AOD=∠DFC}\\{OD=FC}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△DFC（SAS），
∴∠OAD=∠CDF，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADC=180°-（∠ADO+∠CDF）
=180°-（∠ADO+∠OAD）
=∠AOD
=90°，
故答案為：90°；

  ④如圖2，存在過點B的直線BE是⊙D的切線，

則∠DBE=90°，
與③類似可得出△DQB≌△BNM，
所以QD=BN=4，MN=QB=2，
則點M的坐標為（8，2），B的坐標為（4，4），
設直線BE的解析式為y=kx+b（k、b為常數，k≠0），
把B、M的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=2}\\{4k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=6．
故BE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+6．

點評 本題考查了坐標與圖形性質，切線的性質和判定，全等三角形的性質和判定，用待定系數法求出一次函數的解析式的應用，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵．