Question

1．如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=$4\sqrt{3}$，∠ABO=30°，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上從點(diǎn)A向終點(diǎn)B以每秒$\sqrt{3}$個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在直線OB上取兩點(diǎn)M、N作等邊△PMN．
（1）求當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)t的值．
（2）如果取OB的中點(diǎn)C，以O(shè)C為邊在Rt△AOB內(nèi)部作如圖2所示的矩形OCDE，點(diǎn)D在線段AB上，設(shè)等邊△PMN與矩形OCDE重疊部分的面積為S，請(qǐng)求出S與t（0≤t≤4）的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在動(dòng)點(diǎn)P從A向B的運(yùn)動(dòng)過程中，將△PMN沿著PN折疊，點(diǎn)M與點(diǎn)H重合，請(qǐng)問，是否存在點(diǎn)P和點(diǎn)H，使△PDH是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D時(shí)，將△PMN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，射線PM、PN與線段OB交于S、T兩點(diǎn)，當(dāng)∠BDT=15°時(shí)，線段TB和OS滿足什么數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形中30°所對(duì)的邊是斜邊的一半即可求出AP，進(jìn)而求出t的值；
（2）分三種情形討論①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=S_{四邊形EONG}，如圖2所示．②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=S_{五邊形IFONG}，如圖3所示．③當(dāng)2＜t≤4時(shí)，s=s_{五邊形IMCFG}=s_梯形MCDI-s_△DGF如圖4所示分別求出面積即可．
（3）根據(jù)△PDH是等腰直角三角形，可以證明點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，即可解決問題．
（4）利用△DCT是等腰直角三角形求出BT，利用△BDS是等腰三角形求出BS，OS即可解決問題．

解答 解：（1）由題意作圖，設(shè)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)，如圖1所示，
∵△PMN是等邊三角形，
∴∠POB=60°；
∵在Rt△AOB中，
∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴∠A=60°，∠AOP=30°，
∴∠AP0=90°，
在Rt△APO中，AP=$\frac{1}{2}$AO=2$\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=2，
∴當(dāng)?shù)冗叀鱌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)t的值為2；
（2）設(shè)PN與DE相交于點(diǎn)G，
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S=S_{四邊形EONG}，如圖2所示：
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴PD=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，PB=8$\sqrt{3}-\sqrt{3}$t，PM=PN=MN=8-t，DG=4-t
∴EG=ED-GD=6-（4-t）=2+t，
∴ON=OB-NB，
∴ON=12-（8-t）=4+t，
S=$\frac{1}{2}$（2+t+4+t）×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$；
②當(dāng)1＜t＜2時(shí)，S=S_{五邊形IFONG}，如圖3所示：
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴AF=2$\sqrt{3}$t，
∴OF=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，
∴EF=2$\sqrt{3}$-（4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）
=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
∴EI=2t-2，
∴S=S_梯形EONG-S_△EFI
=2$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（2t-2）×（2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$）
=-2$\sqrt{3}$t²+6$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$；
③2＜t≤4時(shí)，如圖4所示：
s=s_{五邊形IMCFG}=s_梯形MCDI-s_△DGF=$\frac{1}{2}$（8-2t+10-2t）•2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$•（4-t）$•\sqrt{3}$（4-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+10$\sqrt{3}$．
綜上所述s=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}t+6\sqrt{3}}&{（0≤t≤1）}\\{-2\sqrt{3}{t}^{2}+6\sqrt{3}t+4\sqrt{3}}&{（1＜t≤2）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+10\sqrt{3}}&{（2＜t≤4）}\end{array}\right.$
（3）存在．
如圖5，∵△PDH是等腰三角形，
∴∠DPH=∠PHD=30°，∵∠NPH=∠NHP=60°，
∴∠NPD=∠NDH=30°，
∵DP=DH，NP=NH，
∴ND垂直平分PH，
∵CD⊥PH，
∴C、N共點(diǎn)，
∴∠DCP=∠DCH=∠DPC=30°，
∴PD=2$\sqrt{3}$，
t=2，
∴t=2時(shí)，△PDH是等腰三角形．
（4）如圖5，∵∠TDB=15°，∠B=30°，
∴∠DTB=∠TDB+∠B=45°，
∵DC⊥OB，
∴DC=CT=2$\sqrt{3}$，BT=BC-CT=6-2$\sqrt{3}$，
∵∠SDB=∠SDT+∠YDB=75°，
∴∠DSB=180°-∠SDB-∠B=75°，
∴∠BDS=∠BSD，
∴SB=BD=4$\sqrt{3}$，
∴OS=OB-BS=12-4$\sqrt{3}$，
∴OS=2BT，
∴∠BDT=15°時(shí)，線段TB和OS滿足OS=2BT．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形、直角三角形的有關(guān)性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)，學(xué)會(huì)正確畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵．