Question

11．如圖，AB是半圓O的直徑，AB=10，C、D是半圓上兩個動點，且始終保持線段CD=8．
（1）當(dāng)CD∥AB時，求CD與AB之間的距離；
（2）在C、D運動的過程中，AD與BC交于點E，∠BED=α，α值是否是定值？若不是，說明理由；若是，求出tanα．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過O作OE⊥CD于E，連接OC，根據(jù)垂徑定理得到CE=$\frac{1}{2}$CD=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）α值是定值，如圖2，連接BD，根據(jù)△CDE∽△ABE，求得$\frac{DE}{BE}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，于是得到cos∠α=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{4}{5}$，推出α值是定值，根據(jù)勾股定理得到BD=$\sqrt{B{E}^{2}-D{E}^{2}}$=3k．即可的結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，過O作OE⊥CD于E，連接OC，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=4，
∴OE=$\sqrt{O{C}^{2}-C{E}^{2}}$=3，
∴CD與AB之間的距離是3；

（2）α值是定值，如圖2，連接BD，
∵∠C=∠DAB，∠CDA=∠ABC，
∴△CDE∽△ABE，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{CD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠α=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{4}{5}$，
∴α值是定值，
設(shè)DE=4k，BE=5k，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}-D{E}^{2}}$=3k．
∴tanα=$\frac{BD}{DE}$=$\frac{3k}{4k}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．