Question

4．如圖1，矩形MNPQ中，點E，F(xiàn)，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3中，四邊形ABCD為矩形，且AB=4，BC=8．
（1）在圖2，圖3中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，試?yán)�用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．
（2）求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長．
（3）明明發(fā)現(xiàn)一個矩形的反射四邊形有無數(shù)個，但這些反射四邊形的周長都相等．圖1中，若MN=3，NP=4，則四邊形EFGH的周長為10．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作出相等的角即可得到反射四邊形；
（2）圖2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的長度，然后即可得到周長，圖3中利用勾股定理求出EF=GH，F(xiàn)G=HE的長度，然后求出周長，從而得到四邊形EFGH的周長是定值；
（3）延長GH交PN的延長線于點A．，再利用“角邊角”證明△FPE≌Rt△FPB，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=BF，EP=PB，同理求出AH=EH，NA=EN，從而得到AB=2NP，再證明GA=GB，過點G作GK⊥NP于K，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出KB=$\frac{1}{2}$AB=4，再利用勾股定理求出GB的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長；

解答 解：（1）作圖如下：


（2）在圖2中，EF=FG=GH=HE=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴四邊形EFGH的周長為4×2$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$，
在圖3中，EF=GH=$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=HE=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$，
∴四邊形EFGH的周長為2×$\sqrt{5}$+2×3$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$+6$\sqrt{5}$=8$\sqrt{5}$．

（3）如圖4，延長GH交PN的延長線于點A，過點G作GK⊥NP于K，
∵∠1=∠2，∠1=∠5，
∴∠2=∠5．
在△FPE和△FPB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠5}\\{PF=PF}\\{∠FPE=∠FPB}\end{array}\right.$
∴△FPE≌Rt△FPB（ASA），
∴EF=BF，EP=PB，
同理：AH=EH，NA=EN．
∴AB=2NP=8．
∵∠B=90°-∠5=90°-∠1，∠A=90°-∠3，
∴∠A=∠B．∴GA=GB．
則KB=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴GB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴四邊形EFGH的周長為：2GB=10．
故答案為：10．

點評 本題考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)等知識，讀懂題意理解“反射四邊形EFGH”特征是解題的關(guān)鍵．