Question

3．如圖，點D是線段BC的中點，分別以點B，C為圓心，BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A，連接AB，AC，AD，點E為AD上一點，連接BE，CE．
（1）求證：BE=CE；
（2）以點E為圓心，ED長為半徑畫弧，分別交BE，CE于點F，G．若BC=4，EB平分∠ABC，求圖中陰影部分（扇形）的面積．

Answer 1

分析 （1）由點D是線段BC的中點得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BE=CE；
（2）由EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EBC=∠ECB=30°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，∠EBD=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，然后根據(jù)扇形的面積公式求解．

解答 （1）證明：∵點D是線段BC的中點，
∴BD=CD，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AD為BC的垂直平分線，
∴BE=CE；
（2）解：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=120°，
在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，
∴ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∠FEG=120°，
∴陰影部分（扇形）的面積=$\frac{120•π•（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$=$\frac{4}{9}$π．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相等垂直平分線的性質(zhì)以及扇形的面積公式．