Question

已知關(guān)于x的一元二次方程mx²+4x+4-m=0．
（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若m為整數(shù)，當(dāng)此方程有兩個互不相等的負(fù)整數(shù)根時，求m的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線y=mx²+4x+4-m與x軸交點為A、B（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C．點O為坐標(biāo)原點，點P在直線BC上，且OP=

1

2

BC，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)根與判別式的關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)求根公式可得x₁=

-4+2(m-2)

2m

=

m-4

m

，x₂=

-4-2(m-2)

2m

=-1．再根據(jù)方程有兩個互不相等的負(fù)整數(shù)根，得到m=1或2或3，再進行討論得到m的值；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，設(shè)P（x₀，3x₀+3），根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x₀的方程，求得x₀的值，再進一步即可求解．

解答：（1）證明：∵△=4²-4m（4-m）
=16-16m+4m²
=4（m-2）²≥0，
∴方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解：∵x=

-4± 4(m-2)2

2m

=

-4±2(m-2)

2m

，
∴x₁=

-4+2(m-2)

2m

=

m-4

m

，x₂=

-4-2(m-2)

2m

=-1．
∵方程有兩個互不相等的負(fù)整數(shù)根，
∴

m-4

m

＜0．
∴

m＞0 m-4＜0

或

m＜0 m-4＞0

，
∴0＜m＜4．
∵m為整數(shù)，
∴m=1或2或3． 
當(dāng)m=1時，x₁=

1-4

1

=-3≠x₂，符合題意；
當(dāng)m=2時，x₁=

2-4

2

=-1=x₂，不符合題意；
當(dāng)m=3時，x₁=

3-4

3

=-

1

3

≠x₂，但不是整數(shù)，不符合題意．
∴m=1．　
（3）解：m=1時，拋物線解析式為y=x²+4x+3．
令y=0，得x₁=-1，x₂=-3；
令x=0，得y=3．
∴A（-3，0），B（-1，0），C（0，3）．
∴BC=

12+32

=

10

．
∴OP=

1

2

BC=

10

2

．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∴

b=3 -k+b=0

，
∴

b=3 k=3

．
∴直線BC的解析式為y=3x+3．
設(shè)P（x₀，3x₀+3），
由勾股定理有：x₀²+（3x₀+3）²=（

10

2

）²，
整理，得20x₀²+36x₀+13=0．
解得x₀=-

1

2

或x₀=-

13

10

．
∴P（-

1

2

，

3

2

）或P（-

13

10

，-

9

10

）．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：根與判別式的關(guān)系，求根公式，分類思想的運用，待定系數(shù)法求直線的解析式，勾股定理，綜合性較強，有一定的難度．