Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，M、N為BD所在直線上的兩點，若AM=2

5

，且∠MAN=135°，則四邊形AMCN的面積為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AO的長，用勾股定理求出MO的長，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DN的長，再計算AMCN的面積．

解答：解：設(shè)正方形ABCD的中心為O，連AO，則AO⊥BD，AO=OB=

2

，
∵M(jìn)O=

AM2-AO2

=

(2 5 )2-( 2 )2

=3

2

，
∴MB=MO-OB=2

2

，
又∵∠ABM=∠NDA=135°，∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB=∠AMB，
∴△ADN∽△MBA，
故

AD

MB

=

DN

BA

，
從而DN=

AD

MB

•BA=

2

2 2

×2=

2

．
根據(jù)對稱性可知，四邊形AMCN的面積：S=2S_△MAN=2×

1

2

×MN×AO=2×

1

2

（3

2

+

2

+

2

）×

2

=10．
故答案為：10．

點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，運用勾股定理求出相應(yīng)線段的長，再根據(jù)∠MAN=135°和∠BAD=90°，得到相似三角形，用相似三角形的性質(zhì)求出DN的長，然后根據(jù)對稱性求出四邊形的面積．