如圖1,在⊙O中,E是
AB
的中點(diǎn),C為⊙O上的一動點(diǎn)(C與E在AB異側(cè)),連接EC交AB于點(diǎn)F,EB=
2
3
r
(r是⊙O的半徑).
(1)D為AB延長線上一點(diǎn),若DC=DF,證明:直線DC與⊙O相切;
(2)求EF•EC的值;
(3)如圖2,當(dāng)F是AB的四等分點(diǎn)時(shí),求EC的值.
考點(diǎn):圓的綜合題,勾股定理的應(yīng)用,垂徑定理,圓周角定理,切線的判定,相似三角形的應(yīng)用
專題:幾何綜合題
分析:(1)連接OC、OE,OE交AB于H,如圖1,由E是
AB
的中點(diǎn),根據(jù)垂徑定理的推論得到OE⊥AB,則∠HEF+∠HFE=90°,由對頂相等得∠HFE=∠CFD,則∠HEF+∠CFD=90°,再由DC=DF得∠CFD=∠DCF,加上∠OCE=∠OEC,所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°,于是根據(jù)切線的判定定理得直線DC與⊙O相切;
(2)由
AE
=
BE
,根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠BCE,加上∠FEB=∠BEC,于是可判斷△EBF∽△ECB,利用相似比得到EF•EC=BE2=(
2
3
r)2=
4
9
r2;
(3)如圖2,連接OA,由
AE
=
BE
得AE=BE=
2
3
r,設(shè)OH=x,則HE=r-x,根據(jù)勾股定理,在Rt△OAH中有AH2+x2=r2;在Rt△EAH中由AH2+(r-x)2=(
2
3
r)2,利用等式的性質(zhì)得x2-(r-x)2=r2-(
2
3
r)2,即得x=
7
9
r,則HE=r-
7
9
r=
2
9
r,在Rt△OAH中,根據(jù)勾股定理計(jì)算出AH=
4
2
r
9
,由OE⊥AB得AH=BH,而F是AB的四等分點(diǎn),所以HF=
1
2
AH=
2
2
r
9
,于是在Rt△EFH中可計(jì)算出EF=
2
3
9
r,然后利用(2)中的結(jié)論可計(jì)算出EC.
解答:(1)證明:連接OC、OE,OE交AB于H,如圖1,
∵E是
AB
的中點(diǎn),
∴OE⊥AB,
∴∠EHF=90°,
∴∠HEF+∠HFE=90°,
而∠HFE=∠CFD,
∴∠HEF+∠CFD=90°,
∵DC=DF,
∴∠CFD=∠DCF,
而OC=OE,
∴∠OCE=∠OEC,
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°,
∴OC⊥CD,
∴直線DC與⊙O相切;

(2)解:連接BC,
∵E是
AB
的中點(diǎn),
AE
=
BE
,
∴∠ABE=∠BCE,
而∠FEB=∠BEC,
∴△EBF∽△ECB,
∴EF:BE=BE:EC,
∴EF•EC=BE2=(
2
3
r)2=
4
9
r2;

(3)解:如圖2,連接OA,
AE
=
BE

∴AE=BE=
2
3
r,
設(shè)OH=x,則HE=r-x,
在Rt△OAH中,AH2+OH2=OA2,即AH2+x2=r2,
在Rt△EAH中,AH2+EH2=EA2,即AH2+(r-x)2=(
2
3
r)2,
∴x2-(r-x)2=r2-(
2
3
r)2,即得x=
7
9
r,
∴HE=r-
7
9
r=
2
9
r,
在Rt△OAH中,AH=
OA2-OH2
=
r2-(
7
9
r)2
=
4
2
r
9
,
∵OE⊥AB,
∴AH=BH,
而F是AB的四等分點(diǎn),
∴HF=
1
2
AH=
2
2
r
9

在Rt△EFH中,EF=
HE2+HF2
=
(
2
9
r)2+(
2
2
9
r)2
=
2
3
9
r,
∵EF•EC=
4
9
r2
2
3
9
r•EC=
4
9
r2,
∴EC=
2
3
3
r.
點(diǎn)評:本題考查了圓的綜合題:熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理;會利用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算,利用相似三角形的知識解決有關(guān)線段等積的問題.
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2
,y3),則y1、y2、y3的大小關(guān)系是( 。
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B、y1<y2<y3
C、y1<y3<y2
D、y3<y1<y2

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;
(3)△A2B2C2的面積是
 
平方單位.

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,乙種收費(fèi)的函數(shù)表達(dá)式是
 
;
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1
4
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