Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，并且AB=2CD，M、N分別是對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)，設(shè)梯形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)₁，四邊形CDMN的周長(zhǎng)為L(zhǎng)₂，求L₁：L₂．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：要求的兩個(gè)四邊形已經(jīng)有AB=2CD，所以再尋求其它的邊的關(guān)系，根據(jù)條件中的中點(diǎn)及角的關(guān)系先推出三角形全等，然后再結(jié)合條件和圖形推出邊的關(guān)系即可．

解答：解：如圖所示，延長(zhǎng)DM交AB于H，
設(shè)CD=x，則AB=2x，
∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，
∴AM=CM，
∵AB∥CD，
∴∠DCM=∠HAM，
在△AMH和△CMD中，

∠DCM∠HAM   ∠DMC=∠AMH   AM=CM

，
∴△AMH≌△CMD（AAS），
∴DM=HM，DC=AH，
∵N是BD的中點(diǎn)，
∴DN=BN，
∴MN=

1

2

BH=

1

2

(AB-CD)=

1

2

x，
∵AB=2CD，
∴AB=2AH，
∴AH=HB，
∴CD=HB，
∴四邊形DHBC是平行四邊形，
∴DH=BC=2DM，
同理可得AD=2CN，
∴L₁=AB+CD+AD+BC=2x+x+2DM+2CN=3x+2DM+2CN，
L₂=MN+CD+DM+CN=

1

2

x+x+DM+CN=

3

2

x+DM+CN，
∴L₁：L₂=2：1．

點(diǎn)評(píng)：該題目考查了梯形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是分析作出輔助線并推出四邊形DHBC是平行四邊形．