Question

6．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交⊙O于點E，連結(jié)EC．若AB=8，CD=2，則sin∠ECB為（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{3\sqrt{13}}{13}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{13}}{13}$

Answer 1

分析 根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=4，設(shè)AO=x，則OC=OD-CD=x-2，在Rt△ACO中根據(jù)勾股定理得到x²=4²+（x-2）²，解得x=5，則AE=10，OC=3，再由AE是直徑，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位線得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可計算出CE，由三角函數(shù)的定義求出sin∠ECB即可．

解答 解：連結(jié)BE，如圖，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
設(shè)AO=x，則OC=OD-CD=x-2，
在Rt△ACO中，∵AO²=AC²+OC²，
∴x²=4²+（x-2）²，
解得：x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直徑，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位線，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE=$\sqrt{C{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴sin∠ECB=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{6}{2\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
故選：B．

點評 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理、圓周角定理、三角函數(shù)；由勾股定理求出半徑是解決問題的突破口．