Question

（2012•茂名）閱讀下面材料，然后解答問題：
在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線y=

-3

x

（x＜0）和y=

k

x

（x＞0）的圖象關(guān)于y軸對稱，直線y=

1

2

x+

5

2

與兩個圖象分別交于A（a，1），B（1，b）兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，連接OC、OB．
（1）求a、b、k的值及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若在坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)D，使得以O(shè)、C、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y=

-3

x

和y=

1

2

x+

5

2

可以得到方程組，解方程組即可算出a、b的值，繼而得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，即可算出k值，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）此題分三個情況：①四邊形OCDB是平行四邊形，②四邊形OCBD是平行四邊形，③四邊形BODC是平行四邊形．根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律可得到D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意得

1= -3 a b= 1 2 ×1+ 5 2

，
解得

a=-3 b=3

，
∴A（-3，1），B（1，3），
∵點(diǎn)B在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，
∴k=1×3=3，
∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（

-3+1

2

，

1+3

2

），即為（-1，2）；

（2）將線段OC平移，使點(diǎn)O（0，0）移到點(diǎn)B（1，3），則點(diǎn)C（-1，2）移到點(diǎn)D（0，5），此時四邊形OCDB是平行四邊形；
將線段OC平移，使點(diǎn)C（-1，2）移到點(diǎn)B（1，3），則點(diǎn)O（0，0）移到點(diǎn)D（2，1），此時四邊形OCBD是平行四邊形；
線段BO平移，使點(diǎn)B（1，3）移到點(diǎn)C（-1，2），則點(diǎn)O（0，0）移到點(diǎn)D（-2，-1），此時四邊形BODC是平行四邊形．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，5）或（2，1）或（-2，-1）．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握凡是圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能滿足解析式．